1. Tegu {a,b\in \mathbb{R}^d} ir {a\le b}. Ar aibė {(a,b]=\{x\in \mathbb{R}^d: a_i<x_i\le b_i\}} yra atvira ar uždara? Atsakymą pagrįsti.

    Sprendimas. Jei {\exists i: a_i=b_i}, aibė {(a,b]} yra tuščia, taigi ir uždara ir atvira. Tarkime a< b. Imkime taškų seką {x_n=a+(1/n,\dots,1/n)}. Visiems {n>\max(1/(a_i-b_i))+1} sekos elementai priklauso aibei {(a,b]}. Seka {x_n\rightarrow a}, taigi {a} yra ribinis aibės {(a,b]} taškas, kuris jai nepriklauso. Taigi aibė nėra uždara. Tegu {\epsilon>0}, tada taškas {x=(b_1+\epsilon/2,b_2,\dots,b_d)} priklauso aplinkai {O_\epsilon(b)} bet nepriklauso {(a,b]} ir taip yra kiekvienam {\epsilon>0}. Taigi taškas {b} nėra vidinis, bet priklauso aibei {(a,b]}, taigi aibė nėra atvira.

  2. Tegu {A=\{x\in \mathbb{R}^3: 0\le x_1\le 2, x_2^2+x_3^2=1\}}. Parodyti, kad seka

    \displaystyle  	 x_n=\left(\frac{2n-1}{n}, 	 \cos\left(\frac{2\pi n-2\pi}{n}\right), 	 \sin\left(\frac{2\pi n-2\pi}{n}\right) \right), n=1,2,\dots

    priklauso aibei {A} ir rasti jos ribą.

    Sprendimas. Turime {0\le x_{n1}\le 2}, bei {x_{n2}^2+x_{n3}^2=\cos^2\alpha_n+\sin^2\alpha_n=1}, čia {\alpha_n=(2\pi n-2\pi)/n}. Taigi seka {(x_n)} priklauso aibei {A}. Turime, kad {(2n-1)/n\rightarrow 2} ir {\alpha_n\rightarrow 2\pi}, taigi {x_n\rightarrow(2,\cos 2\pi,\sin 2\pi)=(2,1,0)}.

Pastabos: Čia išspręsti pirmos grupės uždaviniai, antros grupės uždaviniai sprendžiasi analogiškai.