1. Su kiekvienu {n\in \mathbb{N}} ir {x=(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2}, tegul

    \displaystyle  f_n(x):=x_1^nx_2^n

    Kokioje aibėje šiomis reikšmėmis apibrėžta funkcijų seka {(f_n)} paprastai konverguoja ir kokioje aibėje ši seka tolygiai konverguoja? Atsakymą pagrįsti.

  2. Su kiekvienu {n\in \mathbb{N}} ir {x\in \mathbb{R}} tegul

    \displaystyle  f_n(x):=\left(\frac{1}{1+nx},\frac{x}{n}\right).

    Įrodyti, kad šiomis reikšmėmis apibrėžta funkcijų seka {(f_n)} intervale {[0,1]} tolygiai nekonverguoja.

  3. Su kiekvienu {n\in \mathbb{N}} ir {x\in \mathbb{R}} tegul

    \displaystyle  f_n(x):=\left(\frac{x}{1+nx},\frac{x}{n}\right).

    Įrodyti, kad šiomis reikšmėmis apibrėžta funkcijų seka {(f_n)} intervale {[0,1]} tolygiai konverguoja.

  4. Su kiekvienu {n\in \mathbb{N}} ir {x=(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2}, tegul

    \displaystyle  	 f_n(x)=\left(\frac{\sin nx_1}{n},\frac{\cos nx_2}{n}\right).

    Ar šiomis reikšmėmis apibrėžta funkcijų seka {(f_n)} aibėje {\mathbb{R}^2} konverguoja paprastai? Ar ji aibėje {\mathbb{R}^2} konverguoja tolygiai? Atsakymą pagrįsti.

  5. Su kiekvienu {n\in \mathbb{N}} ir {x=(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2}, tegul

    \displaystyle  	 f_n(x)=\left(\sin (x_1/n),\cos (x_2/n)\right).

    Ar šiomis reikšmėmis apibrėžta funkcijų seka {(f_n)} aibėje {\mathbb{R}^2} konverguoja paprastai? Ar ji aibėje {\mathbb{R}^2} konverguoja tolygiai? Atsakymą pagrįsti.

  6. Tarkime, kad {X\subset \mathbb{R}^p} ir {(f_n)} yra funkcijų seka apibrėžta aibėje {X} ir reikšmes įgyjanti euklidinėje erdvėje {\mathbb{R}^q}. Įrodyti, kad {(f_n)} tolygiai nekonverguoja į 0 tada ir tik tada, kai egzistuoja tokia {X} aibės elementų seka {(x_n)}, kad vektorių seka {f_n(x_n)} nekonverguoja į 0.