1. Tarkime, kad funkcijų sekos {(f_n)} ir {(g_n)} aibėje {X} tolygiai konverguoja. Įrodyti, kad aibėje {X} tolygiai konverguoja funkcijų seka {(f_n+g_n)}.
  2. Tarkime, kad aibėje {X\subset \mathbb{R}^p} apibrėžta ir reikšmes įgyjanti euklidinėje erdvėje funkcijų seka {(f_n)} tolygiai konverguoja į funkciją {f:X\rightarrow \mathbb{R}^q}, o funkcija {F:\mathbb{R}^q\rightarrow \mathbb{R}^d} yra tolydi. Įrodyti, kad funkcijų seka {(F\circ f_n)} tolygiai konverguoja į funkciją {F\circ f}.
  3. Tegu {f:\mathbb{R}^p\rightarrow \mathbb{R}^q} ir {f_u:=f(x-u)}, {u\in \mathbb{R}^p}. Įrodyti

    1. {f} yra tolydi tada ir tik tada, kai su bet kuria, į nulį konverguojančia {\mathbb{R}^p} elementų seka {(u_n)}, funkcijų seka {(f_{u_n})} paprastai konverguoja į {f};
    2. {f} yra tolygiai tolydi tada ir tik tada, kai su bet kuria į nulį konverguojančia {\mathbb{R}^p} elementų seka {(u_n)}, funkcijų seka {(f_{u_n})} tolygiai konverguoja į {f}.
  4. Ar funkcijų eilutė {\sum_{j=0}^{\infty}x_1^jx_2^j}, {(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2}, aibėje

    \displaystyle  \{(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2: -1<x_1<1, -1<x_2<1\}

    tolygiai konverguoja? Atsakymą pagrįsti.

  5. Ar funkcijų eilutė {\sum_{j=0}^{\infty}x_1^jx_2^j}, {(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2}, aibėje

    \displaystyle  \{(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2: x_1^2+x_2^2=1\}

    tolygiai konverguoja? Atsakymą pagrįsti.

  6. Ar funkcijų eilutė {\sum_{j=0}^{\infty}(x^j,(1-x)^j)}, {x\in \mathbb{R}}, intervale {[0,1]} paprastai konverguoja? Kokioje aibėje ši eilutė konverguoja tolygiai? Atsakymą pagrįsti.