1. Tarkime, kad {g:\mathbb{R}^p\rightarrow\mathbb{R}^q} ir {h:\mathbb{R}^p\rightarrow\mathbb{R}^d}. Įrodyti: jei {h(x)\rightarrow 0}, kai {x\rightarrow 0}, ir {g=o(h)}, kai x\to 0 , tai {g(x)\rightarrow 0}, kai {x\rightarrow 0}.

  2. Tegul {f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2}

    \displaystyle  f(x):=(x_1x_2-2x_1+x_2+5,x_1^2+x_2^2+x_1-3x_2+4)

    kiekvienam {x\in\mathbb{R}^2}. Naudojantis tik apibrėžimu rasti šios funkcijos išvestinę ir Jacobio matricą.

  3. Tegul funkcija {f:\mathbb{R}^p\rightarrow\mathbb{R}^q} yra tiesinė. Įrodyti, kad {f} yra diferencijuojama, o jos išvestinė funkcija yra pastovioji funkcija {Df=f}, t.y. funkcija su reikšmėmis {Df(x)=f} kiekvienam {x\in \mathbb{R}^p}.

  4. Tarkime, kad funkcija {f:\mathbb{R}^p\rightarrow\mathbb{R}^q} yra tolydi taške {u\in \mathbb{R}^p} ir egzistuoja tokia afininė funkcija {T:\mathbb{R}^p\rightarrow \mathbb{R}^q}, kad {f(u+x)-T(u+x)=o(x)}, kai {x\rightarrow 0}. Įrodyti, kad {f} yra diferencijuojama taške {u} ir kiekvienam {x\in \mathbb{R}^p}

    \displaystyle  Df(u)(x)=T(u+x)-T(u)=T(x)-T(0)

  5. Tarkime, kad {U\subset \mathbb{R}^p} yra atvira aibė, o funkcija {f:U\rightarrow \mathbb{R}^q} yra diferencijuojama taške {u\in U}. Įrodyti, kad {f} yra tolydi taške {u}.
  6. Tarkime, kad funkcija {f:\mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{R}} yra diferencijuojama taške {u\in \mathbb{R}^d}. Tegul {x\in\mathbb{R}^d} ir {g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} yra funkcija su reikšmėmis {g(t):=f(u+tx)} kiekvienam {t\in \mathbb{R}}. Įrodyti, kad {g} yra diferencijuojama taške 0 ir rasti {g'(0)}.