1. Tegu {f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^2} yra funkcija su reikšmėmis {f(x)=(\cos x,\sin x)}, {x\in R}. Įrodyti, kad funkcija yra diferencijuojama ir rasti Jacobio matricą {Jf(u)}.

  2. Funkcijos {f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}} reikšmės yra

    \displaystyle  	 f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2\cos(x_2x_3).

    1. Rasti funkcijos {f} visas dalines išvestines
    2. Rasti funkcijos {f} kryptinę išvestinę taške {(1,2,3)} kryptimi {(1,-1,0)}.
  3. Tegu {f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}} yra diferencijuojama funkcija. Rasti funkcijos {g(x_1,x_2)=f(x_1+x_2,x_1-x_2)} išvestinę.
  4. Tegu {f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2} yra diferencijuojama funkcija, {f(x)=(\exp(-\|x\|_2),\cos(\|x\|_2))}. Rasti funkcijos {g(r,\phi)=f(r\cos \phi,r\sin\phi)} išvestinę.

  5. Funkcijos {f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}} reikšmės yra

    \displaystyle  	 f(x):=(x_1^{1/3}+x_2^{1/3})^3

    kiekvienam {x\in \mathbb{R}^2}. Įrodyti, kad ši funkcija turi kryptines išvestines taške {(0,0)} visomis kryptimis, bet nėra tame taške diferencijuojama.

  6. Funkcijos {f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}} reikšmės yra

    \displaystyle  	 f(x)=\begin{cases} 		\frac{x_1^2x_2}{x_1^4+x_2^2}, &\text{ jei } x\neq0\\ 		0, &\text{ jei } x=0 	 \end{cases}

    Parodyti, kad funkcija nėra tolydi taške {(0,0)}, bet turi jame dalines išvestines.