1. Tegul {p>0} ir {f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}} yra funkcija su reikšmėmis

    \displaystyle  	 f(x_1,x_2):=\begin{cases} 		\frac{x_1^2}{(x_1^2+x_2^2)^p}, &\text{ jei } x\neq 0,\\ 		0, &\text{ jei } x=0. 	 \end{cases}

    Kokioms {p} reikšmėms pirmoji dalinė išvestinė {D_1f} yra tolydi taške {(0,0)}.

  2. Tegu {f:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}} yra diferencijuojama funkcija ir {l_i=(\cos\alpha_i,\cos\beta_i,\cos\gamma_i)}, {i=1,2,3} yra trys vienas kitam statmeni vektoriai. Parodyti, kad kiekvienam taške {u\in 	\mathbb{R}^3}:

    \displaystyle  	 \sum_{i=1}^3(D_{l_i}f(u))^2=\sum_{i=1}^3(D_if(u))^2

  3. Įrodyti, kad funkcija {f:\mathbb{R}^p\rightarrow\mathbb{R}^q} yra afininė tada ir tik tada, kai {f} yra diferencijuojama ir jos išvestinė funkcija yra pastovioji funkcija.

  4. Tegu {U\subset \mathbb{R}^p} yra atvira iškila aibė ir funkcija {f:U\rightarrow\mathbb{R}^q} yra diferencijuojama. Parodyti, kad jei {x,y\in 	U}, tai egzistuoja toks {z\in(x,y)}, kad

    \displaystyle  	 \|f(y)-f(x)\|_2\le \|Df(z)(y-x)\|_2

  5. Tarkime, kad {K\subset \mathbb{R}^2} yra aibė taškų {x=(x_1,x_2)} ribojama tiesėmis {x_1=0}, {x_2=0} ir {x_1+x_2=9}. Tegul {f:K\rightarrow\mathbb{R}} yra funkcija su reikšmėmis

    \displaystyle  	f(x)=4-(1-x_1)^2-(1-x_2)^2, \text{ visiems } x=(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2

    Įrodyti, kad šios funkcijos maksimali reikšmė 4 įgyjama taške {(1,1)} ir minimali reikšmė -61 įgyjama taškuose {(0,9)} ir {(9,0)}. Paaiškinti, kaip tai derinasi su būtino ekstremumo sąlyga.

  6. Tarkime, kad {f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}} yra funkcija su reikšmėmis

    \displaystyle  	f(x)=(x_1^2-x_2)(3x_1^2-x_2), \text{ visiems } x=(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2

    Įrodyti, kad nulis yra funkcijos {f} kritinis taškas, bet nėra lokalaus ekstremumo taškas. Nuoroda: nagrinėti reikšmes {f(0,t)} ir {f(t,2t^2)}, kai {t} yra arti nulio.