1. Su kiekvienu {n\in \mathbb{N}} ir {x=(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2}, tegul

    \displaystyle  	 f_n(x)=\frac{\sin^2 nx_1}{n}-\frac{\cos^2 nx_2}{n}.

    Ar šiomis reikšmėmis apibrėžta funkcijų seka {(f_n)} aibėje {\mathbb{R}^2} konverguoja paprastai? Ar ji aibėje {\mathbb{R}^2} konverguoja tolygiai? Atsakymą pagrįsti.

    Sprendimas. Turime

    \displaystyle  |f_n(x) |\le \frac{\sin^2 nx_1}{n}+\frac{\cos^2 nx_2}{n}\le \frac{2}{n},

    visiems {x\in \mathbb{R}^2}. Taigi

    \displaystyle  \sup_{x\in \mathbb{R}^2}|f_{n}(x)-0|\le \frac{2}{n}\rightarrow 0, \text{ kai } n\rightarrow \infty.

    Vadinasi {f_n} tolygiai konverguoja į 0 visoje {\mathbb{R}^2}.

  2. Tegu funkcijos {f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}} reikšmės yra

    \displaystyle  f(x_1,x_2)=\cos(x_1^2+x_2^2-3x_1x_2)

    Parodyti, kad ši funkcija yra diferencijuojama {\mathbb{R}^2} ir rasti jos Jacobio matricą.

    Sprendimas. Funkcija {f(x)} yra funkcijų {g(t)=\cos t} ir {h(x)=x_1^2+x_2^2-3x_1x_2} kompozicija. Funkcija {g(t)} yra diferencijuojama visoje {\mathbb{R}}, belieka parodyti, kad {h(x)} diferencijuojama visoje {\mathbb{R}^2}. Turime:

    \displaystyle  \frac{\partial h}{\partial x_1}= 2x_1-3x_2,\quad \frac{\partial h}{\partial x_2}= 2x_2-3x_1.

    Gavome, kad {h(x)} dalinės išvestinės yra tiesinės funkcijos, taigi tuo pačiu ir tolydžios. Vadinasi {h(x)} yra diferencijuojama visoje {\mathbb{R}^2}. Jacobio matrica remiantis funkcijų kompozicijos diferencijavimo taisykle bus

    \displaystyle  -\sin(x_1^2+x_2^2-3x_1x_2) \begin{bmatrix} 2x_1-3x_2, 2x_2-3x_1 \end{bmatrix}.