1. Tegu {X} yra euklidinės erdvės {\mathbb{R}^p} matus poaibis ir {f:X\rightarrow\mathbb{R}} yra funkcija. Įrodyti, kad funkcija {f} yra mati tada ir tik tada, kai aibė

    \displaystyle  	\{x\in X:f(x)\ge r\}=f^{-1}[[r,\infty]]

    yra mati su kiekvienu {r\in\mathbb{R}}.

  2. Tegu {X\in \mathbb{R}^p} yra mati aibė. Parodyti, kad jei {f:X\rightarrow \mathbb{R}} yra mati funkcija, tai mačios yra funkcijos {|f|}, {\max\{f,0\}} ir {\min\{f,0\}}.
  3. Tegu {X\subset \mathbb{R}^p} yra mati ir {(f_n)} yra {X} aibėje apibrėžta ir aprėžta funkcijų seka. Įrodyti, kad jei kiekvienam {n\in \mathbb{N}}, {f_n} yra mati, tai funkcija {\sup_{n\in\mathbb{N}}f_n} irgi yra mati.
  4. Tegu {f} ir {g} yra paprastos funkcijos. Parodyti, kad {fg} irgi yra paprasta funkcija.
  5. Parodyti, kad funkcija {f: [0,2]\rightarrow \mathbb{R} } su reikšmėmis {f(x)=x} yra didėjančios paprastų funkcijų sekos {(\phi_n)} ribinė funkcija. Rasti {\int_0^2\phi_n} ir {\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^2\phi_n}. Ar {\int_0^2xdx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^2\phi_n(x)}. Sąlyga pataisyta, originale, nebuvo apibrėžta funkcija {f}
Advertisements