1. Tegu funkcijos {f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}} reikšmės yra

    \displaystyle  f(x_1,x_2)=\cos(x_1^2+x_2^2)

    Ar taškas {(0,0)} yra šios funkcijos kritinis taškas? Ar jis yra lokalaus ekstremumo taškas?

    Sprendimas. Turime

    \displaystyle  \frac{\partial f}{\partial x_1}=-2x_1\sin(x_1^2+x_2^2), \quad \frac{\partial f}{\partial x_2}=-2x_2\sin(x_1^2+x_2^2),

    Taške {(0,0)} dalinės išvestinės lygios nuliui, taigi taškas {(0,0)} yra funkcijos {f} kritinis taškas.

    Antros eilės išvestinės

    \displaystyle  \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}=-2\sin(x_1^2+x_2^2) -4x_1^2\cos(x_1^2+x_2^2),

    \displaystyle  \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}=-2\sin(x_1^2+x_2^2) -4x_2^2\cos(x_1^2+x_2^2),

    \displaystyle  \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x2}=-4x_1x_2\cos(x_1^2+x_2^2)

    Taigi hessianas taške {(0,0)} bus

    \displaystyle  \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

    tai nėra nei teigiamai, nei neigiamai apibrėžta matrica, vadinasi taškas {(0,0)} nėra lokalaus ekstremumo taškas.

  2. Tarkime, kad {V\subset \mathbb{R}} yra atviras intervalas. Įrodyti, kad

    \displaystyle  	\lambda_1^*(V)=\lambda_1^*(V\cap (-\infty,1]) + \lambda_1^*(V\backslash 	(-\infty,1])

    Sprendimas. Tegu {V=(a,b)}. Išskirkime atvejus:

    1. {a\le b\le1}: {V\cap(-\infty,1]=V}, {V\backslash[-1,1)=\varnothing}, kadangi {\lambda_1^*(\varnothing)=0}, lygybė teisinga.
    2. {1\le a\le b}: {V\cap(-\infty,1]=\varnothing}, {V\backslash(-\infty,1]=V}, kadangi {\lambda_1^*(\varnothing)=0}, lygybė teisinga.
    3. {a<1<b}: {V\cap(-\infty,1]=(a,1]}, {V\backslash(-\infty,1]=(1,b)}. Turime, {\lambda_1^*((1,b))=b-1}, pagal išorinio Lebesgue mato apibrėžimą. Taip pat turime {\lambda_1^*((a,1))\le\lambda_1^*((a,1])\le\lambda_1^*([a,1])}, išplaukia iš išorinio Lebesgue mato monotoniškumo. Remiantis išorinio Lebesgue mato apibrėžimu ir savybėmis gauname {\lambda_1^*((a,1])=1-a}. Sudėjus gauname, kad lygybė teisinga.

    Išnagrinėti atvejai apima visus įmanomus atvejus, taigi lygybė teisinga visiems atviriems intervalams {V}.