1. Kuris iš teiginių (a) ir (b) yra tautologija

    1. {[(A\Rightarrow B) \vee A]\Rightarrow B,}
    2. {[(A\Rightarrow B) \wedge A]\Rightarrow A.}
  2. Tegul {A} ir {B} yra teiginiai. Įrodyti, kad teisingos sudėtinių teiginių formos:
    1. {(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow ((\neg A)\vee B)} (tiesioginis);
    2. {(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow [(\neg B)\Rightarrow 		(\neg A)]} (kontrapozicijos);
    3. {(A\Rightarrow B) \Leftrightarrow ([A\wedge (\neg B)] 		\Rightarrow 		[C\wedge (\neg C)])} bet kuriam teiginiui {C} (prieštaros);
    4. {[\neg(A\Rightarrow B)]\Leftrightarrow[A\wedge(\neg B)]} (kontrpavyzdys).
  3. Paprastame teiginyje yra vienas veiksmažodis. Sudėtiniame teiginyje būna keli veiksmažodžiai, taigi keli paprasti teiginiai. Kiekviename sudėtiniame teiginyje raskite paprastus teiginius, priskirkite jiems raides ir perrašykite sudėtinius teiginius loginiais simboliais. Pirma užduotis yra išspręsta kaip pavyzdys.
    1. Jei {x>0}, arba {x<0}, tai {x^2>0}
      {A} {B} {C}

      {(A \vee B)\Rightarrow C}

    2. Jei {a<b} ir {c} yra teigiamas, tai {ac<bc}
    3. Tam, kad {q} būtų racionalus, pakanka, kad {q} dešimtainės trupmenos išraiška būtų baigtinė.
    4. Sveikas skaičius {n} yra lyginis, tada ir tik tada, kai {n} padalijus iš 2 liekana yra nulis.
    5. Tegu {n} ir {m} yra sveiki skaičiai ir {n+m} yra lyginis. Tada arba {n} ir {m} abu kartu yra lyginiai arba {n} ir {m} abu kartu yra nelyginiai
    6. {n} lyginis yra būtina sąlyga, kad {n^2} būtų lyginis.
    7. Tam kad {n} būtų lyginis yra būtina, kad {n^2} būtų nelyginis.
  4. Paneikite šiuos teiginius. Užrašykite ir simboline išraiška ir aiškia, suprantama kalba.
    1. Jei {n} yra lyginis natūrinis skaičius, tai ir {n^2} yra lyginis natūrinis skaičius
    2. Realus skaičius {x(x-1)} yra teigiamas kai {x>1}
    3. Jei realaus skaičiaus kvadratas yra 2, tai šis skaičius nėra racionalusis.
    4. Jei {y>0}, tai {xy<zy\Rightarrow x<z}
  5. Pavyzdžiuose (a)(f) nustatyti, kas yra kintamasis {x}, kokia jo kitimo sritis ir kokia savybė {S(x)}. Naudojantis pirmuoju pavyzdžiu, kitiems pavyzdžiams panaudoti simbolinę išraišką. Kuris pavyzdys nėra teiginys? Pavyzdžiams, kurie yra teiginiai, nustatyti teisingumo reikšmę:
    1. visiems realiesiems skaičiams {r}, {r^2\ge 0} (simboliškai {\forall r\in \mathbb{R}}, {r^2\ge 0});
    2. visiems natūraliesiems skaičiams {n}, {n-1} yra natūralusis skaičius;
    3. visiems skaičiams, jei {p\in A} yra pirminis, tai {p\in B};
    4. egzistuoja racionalusis skaičius {q}, kurio kvadratas yra {2};
    5. egzistuoja sveikasis skaičius, prie kurio pridėjus {3}, gauname {-1};
    6. kiekvienam realiajama skaičiui {r} egzistuoja realusis skaičius {s}, kad {rs=1}.
  6. Performuluoti pavyzdžius {\textit{(a)}}{\textit{(e)}} atskiriant kvantorius. Nustatyti teiginių teisingumą:
    1. kiekvienam teigiamam skaičiui {x}, ir kiekvienam teigiamam skaičiui {y}, galioja {y^2=x};
    2. egzistuoja teigiamas skaičius {x} toks, kad kiekvienam teigiamam skaičiui {y} galioja {y^2=x};
    3. egzistuoja teigiamas skaičius {x} ir egzistuoja teigiamas skaičius {y} tokie, kad galioja {y^2=x};
    4. kiekvienam teigiamam skaičiui {y} egzistuoja teigiamas skaičius {x} toks, kad galioja {y^2=x};
    5. egzistuoja teigiamas skaičius {y} toks, kad kiekvienam teigiamam skaičiui {x} galioja {y^2=x}.
  7. Paneikite šiuos teiginius. Užrašykite ir simboline išraiška ir aiškia, suprantama kalba.
    1. Kiekvienas realus skaičius {x} tenkina {f(x)\ge f(0)}
    2. {\sin t = \cos t}, kokiam nors kampui {t}.
    3. Kiekvienam teigiamam {x} galima rasti tokį teigiamą {y}, kad {xy<0.001}
    4. Kiekvienam {\epsilon >0} galima rasti tokį {\delta>0}, kad jei {|x-y|<\delta}, tai {|f(x)-f(y)|<\epsilon}.
    5. Tam tikrai funkcijai {f}, {f(x)} neviršija {1} visiems {x}.
  8. Tarkime, kad realūs skaičiai {a}, {b}, {c} ir {d} yra tokie, kad {a=b} ir {c=d}. Naudojantis lygybės aksiomomis įrodyti, kad {a+d=b+c}.

Namų darbai

  1. Parodyti, kad yra teisingos sudėtinių teiginių formos:

    1. {\neg(A \wedge B) \Leftrightarrow (\neg A) \vee (\neg B)}
    2. {\neg(A \vee B) \Leftrightarrow (\neg A) \wedge (\neg B)}
  2. Pasinaudodami savo žiniomis apie realius skaičius nustatykite kurie iš šių teiginių yra teisingi, o kurie klaidingi.
    1. {\forall x}, {\exists y\ni x+y=0}
    2. {\forall x}, {\forall y, x+y=0}
    3. {\exists x\ni \forall y, x+y=0}
    4. {\exists x, \exists y\ni x+y=0}