1. Tegu {A} yra euklidinės erdvės aibė ir {x} yra jos uždarinio {\bar{A}} elementas. Įrodyti, kad egzistuoja iš aibės {A} elementų sudaryta seka {(x_n)}, kuri konverguoja į {x}.
  2. Tegul {A} yra euklidinės erdvės {\mathbb{R}^n} atviroji aibė ir {B} yra euklidinės erdvės {\mathbb{R}^m} atviroji aibė. Įrodyti, kad jų Descarteso sandauga {A\times B} yra euklidinės erdvės {\mathbb{R}^{n+m}} atviroji aibė.
  3. Kuris iš toliau formuluojamų keturių teiginių yra teisingas ir kuris neteisingas:

    1. jei aibė {F\subset \mathbb{R}^{d+1}} yra uždara, tai aibė {\{x\in \mathbb{R}^d: (0,x)\in F\}} yra uždara erdvėje {\mathbb{R}^d}.
    2. jei aibė {G\subset \mathbb{R}^{d+1}} yra atvira, tai aibė {\{x\in \mathbb{R}^d: (0,x)\in G\}} yra atvira erdvėje {\mathbb{R}^d}.
    3. jei aibė {F\subset \mathbb{R}^{d}} yra uždara, tai aibė {\{(0,x)\in \mathbb{R}^{d+1}: x\in F\}} yra uždara erdvėje {\mathbb{R}^{d+1}}.
    4. jei aibė {G\subset \mathbb{R}^{d}} yra atvira, tai aibė {\{(0,x)x\in \mathbb{R}^{d+1}: x\in G\}} yra atvira erdvėje {\mathbb{R}^{d+1}}.
  4. Tegul {A} yra euklidinės erdvės aibė. Aibė {\partial 	A=\bar{A}\backslash A^{\circ}} vadinama aibės siena. Įrodyti, kad {x\in \partial A} tada ir tik tada, kai su kiekvienu {\varepsilon>0}, {\varepsilon}-aplinkoje {O_{\varepsilon}(x)} yra ir aibės {A} elementų ir aibės {\mathbb{R}^d\backslash A} elementų.

  5. Rasti racionaliųjų skaičių aibės {\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}} sieną {\partial \mathbb{Q}}.
  6. Tegul {A} ir {B} yra euklidinės erdvės kompaktinės aibės. Įrodyti, kad aibės {A\cap B} yra {A\cup B} yra kompaktinės.