1. Aprašykite aibes išvardindami jų elementus

    1. Realieji skaičiai tenkinantys lygtį {x^2-1=0}
    2. Realieji skaičiai tenkinantys lygtį {x^2+1=0}
    3. Sveikieji skaičiai tarp {-3} ir {4} imtinai.
    4. Natūralieji skaičiai
    5. Lyginiai skaičiai.
    6. Lygčių sistemos sprendiniai \begin{align*} x+2y=5,
      4x-2y =0. \end{align*}
  2. Kurios aibės praeitoje užduotyje yra kitų aibių poaibiai?

  3. Aibės {X} ir {Y} yra lygios, jei {X\subset Y} ir {Y\subset X}. Parodyti, kad taip apibrėžtai aibių lygybei galioja refleksyvumo, simetriškumo ir tranzityvumo aksiomos.
  4. Tegul {X}, {Y} ir {Z} yra aibės. Įrodyti, kad {Z\cap (X\cup 	Y)=(Z\cap X)\cup(Z\cap Y)}.
  5. Tegul {X} ir {Y} yra aibės. Įrodyti: jei {X\subset Y}, tai {X=Y\backslash(Y\backslash X)}.
  6. Tegul {X} yra aibė ir {\simeq} yra ekvivalentumo binarusis sąryšis aibėje {X}. Įrodyti:

    1. {[x]\subset X}, kiekvienam {x\in X}. (Čia {[x]} yra ekivalentumo klasė, {[x]:=\{y\in X, y\simeq x\}}).
    2. {x\in[x]} kiekvienam {x\in X}.
  7. Tegul {\mathbb{N}} yra natūraliųjų skaičių aibė. Dekarto sandaugoje {X:=\mathbb{N}\times \mathbb{N}} apibrėžkime binarųjį sąryšį {\simeq_Z} bet kuriems {(k,n)\in X} ir {(p,q)\in X}, sakydami, kad {(k,n)\simeq_Z(p,q)}, jei {k+q=p+n}. Parodykite, kad taip apibrėžtas binarusis sąryšis aibėje {X} yra ekvivalentumo binarusis sąryšis.
  8. Tegu sąryšis {\simeq} aibėje {\mathbb{R}} yra apibrėžiamas taip: {x\simeq y} tada ir tik tada, jei {x-y \in \mathbb{Z}}. Įrodykite, kad {\simeq} yra ekvivalentumo sąryšis. Kokia yra 1 ekvivalentumo klasė? {\frac{2}{3}}?

Namų darbai

  1. Tegu {X} ir {Y} yra aibės. Įrodyti, kad {(X\backslash Y)\cup (Y\backslash X)=(X\cup 	Y)\backslash(X\cap Y)}
  2. Tegul {\mathbb{Z}} yra sveikųjų skaičių aibė ir {\mathbb{Z}_{+}:=\mathbb{Z}\backslash\{0\}=\{\pm 1,\pm 2,\dots\}}. Dekarto sandaugoje {X:=\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}_{+}} apibrėžkime binarųjį sąryšį {\simeq_{Q}} bet kuriems {(a,b)\in X} ir {(c,d)\in X} sakydami, kad {(a,b)\simeq_{Q}(c,d)}, jei {ad=bc}. Parodykite, kad taip apibrėžtas binarusis sąryšis aibėje {X} yra ekvivalentumo binarusis sąryšis.