1. Apibrėžkime funkciją {f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}}, kaip {f(x)=x^2}. Taip pat apibrėžkime {\mathbb{R}} intervalus

    \displaystyle  	 A=[0,1]\quad B=[-1,2]\quad C=[-3,0]

    1. Kokia yra {f} apibrėžimo sritis?
    2. Kokia yra {f} reikšmių sritis?
    3. Ar {f} yra bijekcija? Paaiškinkite.
    4. Ar {f} yra siurjekcija? Paaiškinkite
    5. Raskite {f[A]}, {f[B]} ir {f[C]}.
    6. Raskite {f^{-1}[A]}, {f^{-1}[B]} ir {f^{-1}[C]}.

  2. Įrodyti, kad funkcija {f:X\rightarrow Y} yra injekcija tada ir tik tada, kai bet kuriems {x,y\in X}{x\neq y} išplaukia {f(x)\neq f(y)}.
  3. Tegu {f,\tilde{f}:X\rightarrow Y} ir {g,\tilde{g}:Y\rightarrow Z}.

    1. Įrodyti: jei {g\circ f=g\circ \tilde{f}} ir {g} yra injekcija, tai {f=\tilde{f}}. Ar šis teiginys teisingas, jei {g} nėra injekcija?
    2. Įrodyti: jei {g\circ f=\tilde{g}\circ f} ir {f} siurjekcija, tai {g=\tilde{g}}. Ar šis teiginys teisingas, jei {f} nėra siurjekcija?
  4. Tegu funkcija {f: X\rightarrow Y} yra bijekcija ir {f^{-1}:Y\rightarrow X} yra atvirkštinė funkcijai {f}.
    1. Įrodyti, kad {f^{-1}(f(x))=x} kiekvienam {x\in X}.
    2. Įrodyti, kad {f(f^{-1}(y))=y} kiekvienam {y\in Y}.
    3. Ar funkcija {f^{-1}} turi atvirkštinę ir jei taip rasti ją.
  5. Tegu {X} yra aibės {Y} poaibis ir tegul {I_{X\rightarrow Y}:X\rightarrow Y} yra funkcija, įgyjanti reikšmes {I_{X\rightarrow Y}(x):=x} kiekvienam {x\in X}, ir vadinama aibės {X} įdėjimu į aibę {Y}. Kai {Y=X}, tai funkcija {I_{X\rightarrow X}} vadinama tapatingu atvaizdavimu aibėje {X}. Įrodyti teiginius:
    1. jei {X\subset Y\subset Z}, tai kompozicija {I_{Y\rightarrow Z}\circ 		I_{X\rightarrow Y }=I_{X\rightarrow Z}}.
    2. jei {f:X\rightarrow Y} yra funkcija, tai {f=f\circ I_{X\rightarrow 		X}=I_{Y\rightarrow Y}\circ f}.
    3. jei funkcija {f:X\rightarrow Y} yra bijekcija, tai {f\circ 		f^{-1}=I_{Y\rightarrow Y}} ir {f^{-1}\circ f=I_{X\rightarrow X}}.
  6. Tegul {f:X\rightarrow Y}. Įrodyti: {f} yra bijekcija tada ir tik tada, kai lygybė {f[A\cap B]=f[A]\cap f[B]} galioja bet kurioms aibėms {A\subset 	X} ir {B\subset X}.
  7. Tegul funkcijos {f:X\rightarrow Y} ir {g: Y\rightarrow Z} yra bijekcijos. Įrodyti, kad kompozicija {g\circ f} yra bijekcija ir jos atvirkštinės funkcija {(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}}.

  8. Įrodyti, kad {\bigcup (A\cup B)=\left(\bigcup A\right)\cup 	\left(\bigcup B\right)}.

Namų darbai

  1. Kada tuščioji funkcija {f:\varnothing\rightarrow Y} yra injekcija? siurjekcija? bijekcija?
  2. Tegu {f:X\rightarrow Y} ir {g:Y\rightarrow Z}. Įrodyti: jei {g\circ f} yra injekcija, tai {f} yra injekcija. Ar šiuo atveju {g} privalo būti injekcija? Įrodyti: jei {g\circ f} yra siurjekcija, tai {g} yra siurjekcija. Ar šiuo atveju {f} privalo būti siurjekcija?
  3. Su bet kuria funkcija {f:X\rightarrow Y}, jos grafikas yra aibė {G(f):=\{(x,f(x)): x\in X\}}. Įrodyti, kad dvi funkcijos {f:X\rightarrow Y} ir {f':X\rightarrow Y} lygios tada ir tik tada, kai {G(f)=G(f')}.