1. Sugalvokite kiekvienai iš šių aibių priegaugio operaciją ir nustatykite kurias Peano aksiomas šios aibės tenkina, o kurių ne.

    1. {\varnothing}
    2. {\{1\}}
    3. {\{1,2,3,4,5\}}
    4. {\{2,3,4,5,6,7,\dots\}}
    5. {\{1, \frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2}, 3, \frac{7}{2}, 4, 		\frac{9}{2},\dots\}}
    6. {\{x\in\mathbb{Q}:x\ge 1\}}
    7. {[1,\infty)}

  2. Įrodyti lygybę, pasinaudojant apibrėžimu {2+2=4};

  3. Tegu, {n} ir {m} natūralieji skaičiai. Įrodyti, kad

    \displaystyle  	 n\cdot m =m\cdot n

    Pagalbiniai faktai:

    1. Irodyti, kad {0\cdot m=0}.
    2. Įrodyti, kad {(m++)\cdot n=m\cdot n+n}
  4. Tegu {n} yra teigiamas natūralusis skaičius. Įrodykite, kad egzistuoja toks vienintelis natūralusis skaičius {m}, kad {m++=n}.
  5. Įrodykite, kad natūraliesiems skaičiams {n}, {m}, ir {k} galioja savybės:

    1. {n\ge n}
    2. jei {n\ge m} ir {m\ge k}, tai {n\ge k}
    3. jei {n\ge m} ir {m\ge n}, tai {n=m}
    4. jei {n\ge m}, tai {n+k\ge m+k}
    5. jei {n<m} ir {l\in \mathbb{N}} yra teigiamas, tai {n\cdot l< 		m\cdot l}
    6. {n<m} tada ir tik tada, kai {m=n+l} su kuriuo nors teigiamu natūraliuoju skaičiumi {l}
    7. {n<m} tada ir tik tada, kai {n++\le m}
  6. Įrodyti tapatybę {(m+n)^2=m^2+2m\cdot n + n^2}, bet kuriems {n,m\in 	\mathbb{N}}.
  7. Tegul {a,b,c\in \mathbb{N}} ir {a=b}. Įrodyti, kad {a+c=b+c}.
  8. Tegu {x\in \mathbb{N}} ir {y\in\mathbb{N}} yra teigiami. Tada egzistuoja tokie {n\in \mathbb{N}} ir {m\in\mathbb{N}}, kad

    \displaystyle  	 x=ny+m \text{ ir } 0\le m<y.

    Parodyti, kad {n} ir {m} yra vieninteliai skaičiai tenkinantys šią lygybę.

Namų darbai

  1. Įrodyti lygybę, pasinaudojant apibrėžimu: {2\cdot 2 =4}.
  2. Tegu {a}, {b}, {c}, {d\in \mathbb{N}}. Įrodyti, jei {a=b} ir {c=d}, tai {a+c=b+d}.
  3. Įrodyti, jog visiems {k,n,m\in \mathbb{N}}, jei {k<n} ir {n<m}, tai {k<m}