1. Įrodyti, kad funkcija {I_N:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{Z}} su reikšmėmis {I_N(m)=[(m,0)]_Z}, {m\in \mathbb{N}} yra injekcija.

  2. Įrodyti sveikiesiems skaičiams {n} ir {m}, kad griežta nelygybė {n>m} galioja tada ir tik tada, kai {n\ge m+1}.
  3. Įrodyti, kad {(-1)\cdot (-1)=1}.

  4. Tegul {a} ir {b} yra tokie sveikieji skaičiai, kad {ab=0}. Įrodyti, kad tada arba {a=0} arba {b=0} (arba abu kartu).
  5. Tegul {q} yra racionalusis skaičius. Įrodyti, kad galioja lygiai viena iš trijų alternatyvų:

    1. {q} yra teigiamas racionalusis skaičius;
    2. {q} yra nulis;
    3. {q} yra neigiamas racionalusis skaičius.
  6. Tegul {q} ir {r} yra racionalūs skaičiai. Įrodyti,
    1. {|q|\ge 0};
    2. {|q|=0} tada ir tik tada, kai {q=0};
    3. {|q\cdot r|=|q|\cdot |r|};
    4. {|q+r|\le |q|+|r|}.
  7. Tegu {q} racionalusis skaičius. Įrodyti, kad egzistuoja vienintelis sveikasis skaičius {n}, kad {n\le q< n+1}.
  8. Tegu {q,r\in \mathbb{Q}} ir {q<r}. Įrodyti, kad egzistuoja toks {p\in 	\mathbb{Q}}, kad {q<p<r}.

Namų darbai.

  1. Tegul {q,r\in \mathbb{Q}} ir {n,m\in \mathbb{N}}. Įrodyti (naudojant indukciją)

    1. {q^n\cdot q^m=q^{n+m}}, {(q^n)^m=q^{nm}} ir {(qr)^n=q^n\cdot 		r^n};
    2. {q^n=0} tada ir tik tada, kai {q=0};
    3. jei {q\ge r\ge 0}, tai {q^n\ge r^n\ge 0};
    4. jei {q>r\ge 0} ir {n>0}, tai {q^n>r^n\ge 0};
    5. {|q^n|=|q|^n}.