1. Suformuluoti ką reiškia, kad racionaliųjų skaičių seka {(q_n)} nėra Cauchy seka. , t. y. loginiais kvantoriais išreikšti teiginį „{(q_n)} nėra Cauchy seka“.
  2. Įrodyti: jei Cauchy sekos {(r_n)} ir {(s_n)} yra atskirtos nuo nulio ir {(r_n)\simeq_{R} (s_n)}, tai {(r_n^{-1})\simeq_R (s_n^{-1})}.
  3. Įrodyti, kad jei {t} ir {s} yra teigiami realieji skaičiai ir jei {t>s}, tai {t^{-1}<s^{-1}}.
  4. Įrodyti, kad su kiekvienu teigiamu realiuoju skaičiumi {t} egzistuoja toks natūralusis skaičius {N}, kad {t>1/N>0}.

  5. Įrodyti, kad bet kuri realiųjų skaičių aibė gali turėti ne daugiau kaip vieną mažiausią viršutinį rėžį.
  6. Tegul {M} yra realiųjų skaičių aibės {A} mažiausias viršutinis rėžis. Įrodyti, kad kiekvienam {\epsilon>0} egzistuoja toks {x\in A}, kad {x>M-\epsilon}.
  7. Tegul {A} yra realiųjų skaičių aibė, o {-A:=\{-x: x\in A\}}. Įrodyti: jei {M} yra aibės {-A} mažiausias viršutinis rėžis, tai {-M} yra aibės {A} didžiausias apatinis rėžis.

  8. Tegul {r} yra realusis skaičius. Įrodyti, kad {|r|=(r^2)^{1/2}}.

Namų darbai:

  1. Tarkime, kad {x} yra realusis skaičius ir {(a_n)} yra racionaliųjų skaičių Cauchy seka. Įrodyti: jei {x\le a_n} su kiekvienu {n\in \mathbb{N}}, tai {x\le LIM(a_n)}. Taip pat įrodyti, kad {x\ge 	LIM(a_n)}, jei {x\ge a_n} su kiekvienu {n\in \mathbb{N}}. Nuoroda: jei taip nėra, tai galima rasti racionalųjį skaičių tarp dviejų realiųjų.

  2. Tegul {D} yra realiųjų skaičių aibės {A} didžiausias apatinis rėžis. Įrodyti, kad kiekvienam {\epsilon>0} egzistuoja toks {x\in A}, kad {x<D+\epsilon}.
  3. Tegu {A} ir {B} yra netuščios ir aprėžtos realiųjų skaičių aibės. Tegul {C:=\{x+y: x\in A, y\in B\}}. Įrodyti, kad {\sup C=\sup A+\sup B}

Pastaba: Ištaisyta klaida antrame namų darbų uždavinyje.