1. Įrodyti, kad {\binom{n}{j}\le 2(n/2)^j}, bet kuriems {1\le j\le n}.
  2. Tegul realusis skaičius {x\ge -1} ir {n} yra teigiamas natūralusis skaičius. Įrodyti, kad {(1+x)^n\ge 1+nx}.
  3. Tegul {x,y\in \mathbb{R}} ir {n\in \mathbb{N}_+}. Įrodyti, kad

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 x^n-y^n=(x-y)\sum_{j=0}^{n-1}x^jy^{n-1-j} 	\end{array}

  4. Tegul {x}, {y} yra realieji skaičiai, o realusis skaičius {\epsilon>0}, Įrodyti, kad {\rho(x,y)<\epsilon} tada ir tik tada, kai {y-\epsilon<x<y+\epsilon}. Taip pat įrodyti, kad {\rho(x,y)\le \epsilon} tada ir tik tada, kai {y-\epsilon\le x\le y+\epsilon}.
  5. Įrodyti, kad kiekviena realiųjų skaičių Cauchy seka yra aprėžta.
  6. Tegu {(r_n)} yra realiųjų skaičių seka ir {r\in \mathbb{R}}. Įrodyti, kad {\lim_{n\rightarrow\infty}r_n=r} tada ir tik tada, kai kiekvienam {k\in\mathbb{N}_+} egzistuoja toks {N\in \mathbb{N}}, kad {\rho(r_n,r)<1/k} kiekvienam {n\ge N}.
  7. Tarkime, kad realiųjų skaičių seka {(r_n)} konverguoja į realųjį skaičių {r}, tokį kad {r\neq 0}. Įrodyti, kad egzistuoja toks {N\ge m}, kad {|r_n|\ge |r|/2} kiekvienam {n\ge N}.
  8. Tarkime, kad teigiamų realiųjų skaičių seka {(r_n)} konverguoja į teigiamą skaičių {r}. Įrodyti, kad seka {(\sqrt{r_n})} konverguoja į {\sqrt{r}}.

Namų darbai

  1. Tegul realusis skaičius {r>0} ir {n} yra teigiamas natūralusis skaičius. Įrodyti, kad lygtis {x^n=r} atžvilgiu {x} turi vienintelį sprendinį tarp visų teigiamų realiųjų skaičių.

  2. Tarkime, kad realiųjų skaičių aibė {A} turi viršutinį rėžį {M} ir egzistuoja tokia iš aibės {A} elementų sudaryta seka {(x_n)}, kad {x_n\rightarrow M}, kai {n\rightarrow\infty}. Įrodyti, kad {M} yra aibės {A} mažiausias viršutinis rėžis.
  3. Įrodyti: jei skaičių seka {(r_n)} konverguoja į {r} ir {|r_n|\le C} visiems pakankamai dideliems n, tai {|r|\le C}

  4. Tegu realiųjų skaičių sekos {(r_n)} ir {(s_n)} konverguoja atitinkamai į realiuosius skaičius {r} ir {s}. Įrodyti, kad seka {(\min\{r_n,s_n\}} konverguoja į {\min\{r,s\}}.