1. Tegul {r_n:=1/(n+1)}, {n\in \mathbb{N}}. Įrodyti, kad {\sup_{n\in 	\mathbb{N}}r_n=1} ir {\inf_{n\in \mathbb{N}}r_n=0}.

  2. Tegul {a} yra teigiamas realusis skaičius. Parodyti, kad {\lim a^{1/n}=1}. (Pasinaudoti tuo, kad {a=(1+(a^{1/n}-1))^{n}}, bei Niutono binomo formule)
  3. Parodyti, kad {\lim n^{1/n}=1}. (Pasinaudoti tuo, kad {n=(1+(n^{1/n}-1))^{n}} ir Niutono binomo formule)

  4. Pateikite pavyzdį sekos, kuri turi lygiai du ribinius taškus.
  5. Tegul seka {(a_n)} yra aprėžta iš viršaus. Įrodyti, kad šios sekos ribinių taškų aibė yra aprėžta iš viršaus.

  6. Pateikite pavyzdį neaprėžtos sekos, kuri turi lygiai vieną ribinį tašką.
  7. Tegu {(r_n)} yra nemažėjanti realiųjų skaičių seka ir tegu ji turi ribinį tašką. Įrodyti, kad {(r_n)} konverguoja.
  8. Pateikite pavyzdį tokių aprėžtų sekų {(r_n)} ir {(s_n)}, kad

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 \limsup_{n\rightarrow\infty}(r_n+s_n)=0 \quad \text{ ir }\\\quad 	 \limsup_{n\rightarrow\infty}r_n=\limsup_{n\rightarrow\infty}s_n=1. 	\end{array}

Namų darbai

  1. Rasti sekų ribas:

    1. {n^{1/n^2}}
    2. {(n^2)^{1/n}}
    3. {(1+n^2)^{1/n^3}}
    4. {(1+1/n)^{2/n}}.
  2. Tegul {r_1=1/2}, tegul kiti trys nariai yra {1/4}, {1/2}, {3/4}. Tegul kiti septyni nariai yra {1/8,1/4,3/8,1/2,5/8,3/4,7/8} ir taip toliau. Rasti visus šios sekos ribinius taškus.