1. Rasti {\frac{\partial f}{\partial x_1}(x,1)}, kai {f(x_1,x_2)=x_1+(x_2-1)\arcsin\frac{x_1}{x_2}}.
  2. Tegu {f(x)=\sqrt[3]{x_1x_2}}. Rasti {\frac{\partial f}{\partial 	x_1}(0,0)} ir {\frac{\partial f}{\partial x_2}(0,0)}. Ar funkcija {f} yra diferencijuojama taške {(0,0)}?
  3. Ar diferencijuojama taške {(0,0)} funkcija {e^{-\frac{1}{x_{1}^2+x_2^{2}}}}?
  4. Parodyti, kad funkcija {f(x_1,x_2)=\sqrt{|x_1x_2|}} yra tolydi taške {(0,0)}, egzistuoja dalinės išvestinės {\frac{\partial f}{\partial 	x_1}(0,0)} ir {\frac{\partial f}{\partial x_2}(0,0)}, bet funkcija nėra diferencijuojama taške {(0,0)}.
  5. Parodyti, kad funkcija {f(x)=\frac{x_1x_2}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}}}, kai {x\neq 0} bei {f(0)=0}, yra tolydi bei turi aprėžtas dalines išvestines {\frac{\partial f}{\partial x_1}} ir {\frac{\partial f}{\partial x_2}} taško {(0,0)} aplinkoje, bet taške {(0,0)} nėra diferencijuojama.
  6. Parodyti, kad funkcijos {f(x)=(x_1^2+x_2^2)\sin\frac{1}{x_1^2+x_2^2}}, kai {x\neq 0} ir {f(0,0)=0} dalinės išvestinės {\frac{\partial 	f}{\partial x_1}} ir {\frac{\partial f}{\partial x_2}} taške {(0,0)} turi trūkį, yra neaprėžtos taško {(0,0)} aplinkoje, bet funkcija {f} yra diferencijuojama taške {(0,0)}.
  7. Patikrinti lygybę {\frac{\partial u}{\partial x_1\partial 	x_2}=\frac{\partial u}{\partial x_2\partial x_1}}, kai

    1. {u(x)=x_1^{x_2^2}},
    2. {u(x)=\arccos\sqrt{\frac{x_1}{x_2}}}.
  8. Tegu {f(x)=x_1x_2\frac{x_1^2-x_2^2}{x_1^2+x_2^2}}, kai {x\neq 0} ir {f(0)=0}. Parodyti, kad {\frac{\partial f}{\partial x_1\partial 	x_2}(0,0)\neq\frac{\partial f}{\partial x_2\partial 	x_1}(0,0)}.
  9. Funkcija {f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}} yra vadinama {p}-to laipsnio homogenine, jeigu tenkina savybę {f(tx_1,\dots,tx_n)=t^pf(x_1,\dots,x_n)}. Parodyti, kad jei funkcija {f:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}} tenkina lygtį

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 \sum_{i=1}^3x_i\frac{\partial f}{\partial x_i}=pf 	\end{array}

    tai ji yra {p}-tojo laipsnio homogeninė.

  10. Parodyti, kad jei {u:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}} yra du kartus diferencijuojama {n}-tojo laipsnio homogeninė, tai

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 \left(x_1\frac{\partial}{\partial x_1}+x_2\frac{\partial}{\partial 	 x_2}+x_3\frac{\partial}{\partial x_3} \right)^2 u=n(n-1)u 	\end{array}

  11. Tegu {u(x)=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}}. Parodyti, kad {d^2u\ge 0}.