1. Tegu {\sum_{i=m}^{\infty}a_i} or {\sum_{i=m}^\infty b_i} yra neneigiamų skaičių eilutės ir tegul egzistuoja riba {L=\lim_{i\rightarrow\infty}a_i/b_i}. Įrodyti:

    1. jei {L>0}, tai {\sum_{i\ge m}a_i} konverguoja tada ir tik tada, kai konverguoja {\sum_{i\ge m}b_i};
    2. jei {L=0} ir {\sum_{i\ge m}b_i} konverguoja, tai konverguoja ir {\sum_{i\ge m}a_i}.

  2. Tegu {(c_i)} yra teigiamų skaičių seka. Įrodyti, kad

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 \liminf_{i\rightarrow\infty}\frac{c_{i+1}}{c_i}\le 	 \liminf_{i\rightarrow\infty}c_i^{1/i}. 	\end{array}

  3. Įrodyti, kad diverguoja eilutė {\sum_{i \ge 1}\frac{1}{i}}.

  4. Tegul skaičių eilutė {\sum_{i\ge m}a_i} konverguoja absoliučiai ir tegul {(b_i)} yra aprėžta skaičių seka. Įrodyti, kad eilutė {\sum_{i\ge m}a_ib_i} konverguoja absoliučiai.
  5. Parodyti, kad eilutė {\sum_{i\ge 1}2^{-i}\sin(\frac{3\pi}{5}i)} konverguoja.

  6. Parodyti, kad eilutė

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 \sum_{n=1}nx\prod_{k=1}^n\frac{\sin^2k\alpha}{1+x^2+\cos^{2}k\alpha}, 	\end{array}

    čia {x\neq 0}, o {\alpha\in \mathbb{R}}, konverguoja. (Taikyti D’Alembert eilučių konvergavimo požymį).

  7. Parodyti, kad eilutė

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 \sum_{n=2}\left(\frac{n-1}{n+1}\right)^{n(n-1)} 	\end{array}

    konverguoja. (Taikyti Cauchy eilučių konvergavimo požymį).

  8. Tegul neneigiamų skaičių eilutė {\sum_{i=1}^\infty a_i} konverguoja. Pateikti pavyzdį rodantį, kad eilutė {\sum_{i=1}^\infty\sqrt{a_i}} diverguoja ir įrodyti, kad {\sum_{i=1}^{\infty}\sqrt{a_i}/i} konverguoja. Nuoroda: naudokitės nelygybe {xy\le (x^2+y^2)/2}.

Namų darbai

  1. Rasti sekų ribas:

    1. {n^{1/n^2}}
    2. {(n^2)^{1/n}}
    3. {(1+n^2)^{1/n^3}}
    4. {(1+1/n)^{2/n}}.
  2. Tegul {r_1=1/2}, tegul kiti trys nariai yra {1/4}, {1/2}, {3/4}. Tegul kiti septyni nariai yra {1/8,1/4,3/8,1/2,5/8,3/4,7/8} ir taip toliau. Rasti visus šios sekos ribinius taškus.
  3. Rasti ribą:

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\dots+\frac{n}{(n+1)!}\right) \end{array}

  4. Įrodykite, kad eilutė {\sum_{i=0}^\infty\frac{1}{3i+1}} diverguoja.
  5. Ištirkite eilutės {\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{2}}+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}+\dots} konvergavimą. Nuoroda: pasinaudokite tuo, kad {\sqrt{2}=2\cos\pi/4}, bei tuo, kad {\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}.
  6. Ištirkite eilutės {\sum_{n=1}^\infty\dfrac{e^n}{n!}\cos n^n} konvergavimą.