1. Ar eilutė

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3(\sqrt{2}+(-1)^n)^n}{3^n} 	\end{array}

    konverguoja?

  2. Parodyti, kad eilutė {\sum a_n} konverguoja, jei egzistuoja toks {\alpha>0}, ir toks {N}, kad {-\dfrac{\ln a_n}{\ln n}>1+\alpha}.
  3. Ar konverguoja eilutė {\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{(\ln(\ln 	n))^{\ln n}}}?
  4. Ar konverguoja eilutė {\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\nu(n)}{n^2}}, čia {\nu(n)} yra skaičiaus {n} skaitmenų skaičius? Naudokitės tuo, kad eilutė {\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^2}} konverguoja.

  5. Įrodyti, kad sveikųjų skaičių aibė {\mathbb{Z}} yra suskaičiuojama.
  6. Įrodyti, kad racionaliųjų skaičių aibė {\mathbb{Q}} yra suskaičiuojama
  7. Įrodyti, kad intervalai {(0,1)} ir {(0,\infty)} yra vienodos galios.
  8. Įrodyti, kad bet kurie du uždari intervalai yra vienodos galios.

Namų darbai

  1. Įrodyti, kad racionaliųjų skaičių porų aibė {\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}} yra suskaičiuojama

  2. Tegu {X} yra baigtinė aibė. Įrodyti, kad jei {f:X\rightarrow Y} yra funkcija, tai vaizdas {f[X]} irgi yra baigtinė aibė ir {|f[X]|\le |X|}; be to jei {f} yra injekcija, tai {|f[X]|=|X|}.
  3. Tegu {X} yra baigtinė aibė, o {\mathcal{P}(X)} aibė, kurios elementai yra visi aibės {X} poaibiai. Parodyti, kad {\mathcal{P}(X)} yra baigtinė ir kad {|\mathcal{P}(X)|=2^{|X|}}. (Pasinaudoti Niutono binomo formule).