1. Tegu {\{X_1,\dots,X_n\}} yra atvirų aibių rinkinys. Įrodyti, kad {\cap_{i=1}^nX_i} yra atvira aibė.

  2. Tegu {\mathcal{G}} yra atvirų aibių rinkinys (baigtinis ar begalinis). Įrodyti, kad {\cup \mathcal{G}} yra atvira aibė.
  3. Sudarykite aibės {\{\frac{1}{n}, n\in \mathbb{N}_+\}} atvirąjį denginį, iš kurio neįmanoma išrinkti baigtinio denginio.
  4. Tegul {f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}} ir

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 f(x)=\left\{ 	 \begin{aligned} 		2,&\; x>0,\\ 		0,&\; x=0,\\ 		-2,&\; x<0. 		\end{aligned}\right. 	\end{array}

    Parodyti, kad taške 0 funkcijos riba neegzistuoja.

  5. Įrodyti, kad jei funkcija {f} taške {a} konverguoja į {u}, o funkcija {g} taške {a} konverguoja į {v}, tai {fg} taške {a} konverguoja į {uv}.
  6. Tegu {P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n}. Parodyti, kad {\lim_{x\rightarrow \infty}|P(x)|=\infty}

    Rasti ribas:

  7. {\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\infty} 		\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{x+1}}}.
  8. {\displaystyle{\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[4]{x}-2}{\sqrt{x}-4}}}.
  9. {\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}}, čia {n\in \mathbb{N}_+}.
  10. {\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 7}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt[3]{x+20}}{\sqrt[4]{x+9}-2}}}

Namų darbai

  1. Tegul {a} ir {b} yra tokie tiesės taškai, kad {a<b}. Įrodyti, kad {\overline{(a,b)}=[a,b]}, {\overline{(-\infty,b)}=(-\infty,b]}, {\overline{(a,\infty)}=[a,\infty)}
  2. Tegul {I} yra bet kokia aibė (baigtinė ar begalinė). Tarkime, kad su kiekvienu {i\in I}, {X_i} yra uždara tiesės taškų aibė. Įrodyti, kad sankirta {\cap_{i\in I}}X_i yra uždara aibė.