You are currently browsing the monthly archive for gruodžio 2009.

Įdėtas testas su atsakymais. Jeigu pasitikrinę manot, kad jūsų pažymys neteisingas, praneškite apie tai (elektroniniu paštu), nurodydami, kuriuos jūsų nuomone klausimus jūs teisingai atsakėte. Darbai bus peržiūrimi trečiadienį, gruodžio 23 dieną.

Paskelbti kurso „Matematinė analizė I“ teorijos pratybų patikrinimo preliminarūs rezultatai. Skaičiavimo formulė dar gali keistis. Kilus neaiškumams rašykite elektroniniu paštu. Rezultatus bus galima peržiūrėti trečiadienį, gruodžio 23 dieną.

Paskelbti galutiniai kurso „Rinktiniai analizės skyriai“ pratybų rezultatai. Kylant neaiškumams rašykite elektroniniu paštu. Darbus bus galima peržiūrėti trečiadienį, gruodžio 23 d.

Paskelbti namų darbų nr 2. rezultatai.

  1. Sukeisti vietomis integravimo tvarką

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 \int_{1}^2dx\int_{2-x}^{\sqrt{2x-x^2}}f(x,y)dy 	\end{array}

  2. Sukeisti vietomis integravimo tvarką

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 \int_{0}^{2a}dx\int_{\sqrt{2ax-x^2}}^{\sqrt{2ax}}f(x,y)dy 	\end{array}

  3. Sukeisti vietomis integravimo tvarką

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	\int_{0}^{2\pi}dx\int_{0}^{\sin x}f(x,y)dy \end{array}

  4. Pereiti prie polinių koordinačių integrale {\int_Df(x,y)dxdy}, bei nurodyti integravimo rėžius, kai {D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:x^2+y^2\le ax(a>0)\}}
  5. Pereiti prie polinių koordinačių integrale {\int_{0}^1\int_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}}f(x,y)}

Galutinius rezultatus rasite čia.

  1. Tegul {f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}} ir {g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}} yra tolydžios funkcijos. Tarkime, kad {f(0)g(0)}. Įrodyti egzistuojant tokį tašką {c\in(0,1)}, kad {f(c)=g(c)}.
  2. Tarkime, kad funkcija {f[0,2]\rightarrow \mathbb{R}} yra tolydi ir {f(0)=f(2)}. Įrodyti, kad intervale {[0,2]} egzistuoja tokie skaičiai {a} ir {b}, kad {a-b=1} ir {f(a)=f(b)}.
  3. Tarkime, kad {a<b} ir funkcija {f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}} yra dalimis monotoninė. Jei {f} turi vidurinės reikšmės savybę intervale {[a,b]}, tai ji yra tolydi intervale {(a,b)}.
  4. Rasti funkcijos {f:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}} išvestinę intervalo {(a,b)} taškuose pagal apibrėžimą, kai:
    1. {f(x)=r}
    2. {f(x)=x}
    3. {f(x)=x^{\alpha}}, {\alpha\in \mathbb{R}}.
    4. {f(x)=\sin x}.
  5. Rasti funkcijų išvestines:
    1. {\displaystyle{\frac{\ln(\cos (x^2))}{\tan(e^x)}}}
    2. {\displaystyle{\frac{\exp(\cos (\ln 		(x^3)))}{\sqrt{|\sin(x)|}}}}
    3. {4\sqrt{\sqrt{x+2}-1}-2\sqrt{2}\arctan\sqrt{\frac{\sqrt{x+2}-1}{2}}+1}
    4. {\arctan\sqrt{\cos 2x}-\sqrt{\cos2x}}
    5. {\sin^2(w\cos\alpha x)+\cos^2(w\sin\alpha x)}
    6. {ctg(a\tan(b\arctan(cx)))}
    7. {\log_{a}^c\sqrt{\frac{x+1}{x+b}}}
    8. {\ln^a(\ln^b(\ln^c x))}
    9. {x^{\sin x}+(\sin x)^x}
    10. {x^{(\ln x)^x}}
    11. {x^{x^{x^x}}}
  6. Rasti funkcijų išvestines
    1. {\displaystyle\arcsin\frac{1}{|x|}} (9)
    2. {\displaystyle[x]\sin^2\pi x} (9)

Namų darbai

  1. Tarkime, kad {f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}} yra funkcija, {\alpha\in(0,1]} ir egzistuoja toks skaičius {C\in \mathbb{R}}, kad

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 |f(x)-f(y)|\le C|x-y|^{\alpha} 	\end{array}

    visiems {x,y\in [a,b]} (tada sakoma, kad funkcijai {f} galioja Hölderio sąlyga su rodikliu {\alpha}). Įrodyti, kad {f} yra tolygiai tolydi.

  2. Pateikti tokį tolygiai tolydžios funkcijos {f} pavyzdį, kuriai negalioja Hölderio sąlyga su rodikliu {1}. Nuoroda: nagrinėti funkciją su reikšmėmis {f(x)=\sqrt{x}}.
  3. Kuriuose taškuose diferencijuojamos funkcijos {|\sin x|} ir {\sin|x|}?
  4. Tarkime, kad tolydi funkcija {f:[a,b]} yra diferencijuojama atvirame intervale {(a,b)} ir {f'(x)=0}, kiekvienam {x\in (a,b)}. Įrodyti, kad {f} yra pastovioji funkcija su vienintele reikšme {r\in \mathbb{R}}, t.y. {f(x)=r}, kiekvienam {x\in[a,b]}.
  5. Tarkime, kad {f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}} yra funkcija su reikšmėmis {0\le f(x)\le x^2} kiekvienam {x\in \mathbb{R}}. Įrodyti, kad {f} yra diferencijuojama taške {0} ir {f'(0)=0}.
  1. Naudojant racionaliųjų funkcijų integravimo metodus suintegruoti:
    1. {\int \frac{xdx}{(x-1)^2(x+2)} }
    2. {\int \frac{dx}{x(x+1)(x^2+x+1)}}
    3. {\int \frac{dx}{x^3+1}}
  2. Rasti integralus:
    1. {\int_0^{200\pi}\sqrt{1-\cos 2x}dx}
    2. {\int_0^{\pi/2}\sin^nxdx}
    3. {\int_0^1x^m(\ln x)^ndx}
  3. Rasti ribas:
    1. {\lim_{\alpha\rightarrow 0}\int_{-1}^1\sqrt{x^2+\alpha^2}dx}
    2. {\lim_{\alpha\rightarrow 		0}\int_{\alpha}^{1+\alpha}\frac{dx}{1+x^2+\alpha^2}}
  4. Tegu {F(\alpha)=\int_{0}^{\pi/2}\sin^2(x+\alpha)dx}. Rasti {F'(\alpha)}.
  5. Rasti {F'(\alpha)}, jei {F(\alpha)=\int_0^1f(x+\alpha,x-\alpha)dx}. Laikykite, kad funkcija {f} yra tolydžiai diferencijuojama.

Primenu, kad į kursinio projekto gynimą reikia atsinešti savo vadovo pasirašytą darbą. Atsineštus darbus aš turėsiu pristatyti katedrai, taigi jeigu darbo neatsinešite, gintis negalėsite. Taip pat prie darbo reikia pateikti jo elektroninę versiją, kartu su naudotais duomenimis. Būtų gerai, kad visi kurso darbai būtų viename CD.

  1. Rasti ribas
    1. {\lim_{x\rightarrow\pi}\frac{\sin mx}{\sin nx}}
    2. {\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x}{x}}
    3. {\lim_{x\rightarrow a}\frac{\sin x-\sin a}{x-a}}
    4. {\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x+2}{2x+1}\right)^{x^2}} (186)
    5. {\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (1+x)}{x}}.
    6. {\lim_{x\rightarrow 0}\frac{a^x-1}{x}}
    7. {\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^\mu-1}{x}}.
  2. Tegul {f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}} ir

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 f(x)=\begin{cases} 	 0,&\; x\in \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q},\\ 	 1,&\; x\in \mathbb{Q} 		\end{cases} 	\end{array}

    Parodyti, kad funkcija netolydi kiekviename taške.

  3. Tegu {f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}} ir

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 f(x)=\begin{cases} 	 0,&\; x\in \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q},\\ 		\frac{1}{b},&\; x\in \mathbb{Q}, \; x=\frac{a}{b}, \text{ (neprastinama 		trupmena)} 	 \end{cases} 	\end{array}

    Parodyti, kad funkcija tolydi iracionaliuose taškuose ir netolydi racionaliuose. (263)

  4. Tegu funkcija {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} yra funkcija su reikšmėmis

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 f(x)=\begin{cases} 	 x^3+2,&\; \text{ jei } x\le 0,\\ 	 	x^2-2,&\; \text{ jei } 02. 	 \end{cases} 	\end{array}

    Rasti funkcijos {f} tolydumo ir trūkio taškus.

  5. Tegu {f(x):=\{x\}} (skaičiaus trupmeninė dalis). Rasti funkcijos trūkio taškų aibę. (253)
  6. Tarkime, kad {f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}} yra tolydi funkcija. Įrodyti, kad egzistuoja tokia tolydi funkcija {g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}, kad {g(x)=f(x)} kiekvienam {x\in[a,b]} (tokia funkcija vadinama funkcijos {f} tolydžiuoju tęsiniu). Įrodykite, kad šis teiginys nėra teisingas bet kuriai tolydžiai funkcijai {f:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}}.

Namų darbai

  1. Tarkime, kad funkcija {f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}} yra tolydi ir {c\in \mathbb{R}} yra toks, kad {f(c)>0}. Įrodyti egzistuojant tokį {\delta}, kad {f(x)>f(c)/2} kiekvienam {x\in O_{\delta}(c)}.
  2. Tegu {a\in \mathbb{R}} ir {f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}} yra funkcija su reikšmėmis

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 f(x)=\begin{cases} 		x^2-x+1,&\; \text{ jei } x\le 1,\\ 	 	ax+1,&\; \text{ jei } x>1. 	 \end{cases} 	\end{array}

    Kokioms {a} reikšmėms funkcija {f} yra tolydi?

  3. Tarkime, kad {f:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}} yra tokia funkcija, kad

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 f(\lambda x+ (1-\lambda)y)\le \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y) 	\end{array}

    visiems {x,y\in(a,b)} ir {\lambda\in(0,1)} (tokia funkcija vadinama iškiliąja). Įrodyti, kad {f} yra tolydi

Naujausi komentarai

vzemlys apie Rožiniai akiniai
Audrius apie Rožiniai akiniai
Karl apie Time series data aggregation u…
Vytautas Astrauskas apie Matematinio teksto rinkimo tur…
Auksinis kardas apie Drawing national flags on maps…
2009 m. gruodžio mėn.
Pr A T K Pn Š S
 123456
78910111213
14151617181920
21222324252627
28293031