1. Rasti ribas

    1. {\lim_{x\rightarrow\pi}\frac{\sin mx}{\sin nx}}
    2. {\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x}{x}}
    3. {\lim_{x\rightarrow a}\frac{\sin x-\sin a}{x-a}}
    4. {\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x+2}{2x+1}\right)^{x^2}} (186)
    5. {\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (1+x)}{x}}.
    6. {\lim_{x\rightarrow 0}\frac{a^x-1}{x}}
    7. {\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^\mu-1}{x}}.
  2. Tegul {f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}} ir

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 f(x)=\begin{cases} 	 0,&\; x\in \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q},\\ 	 1,&\; x\in \mathbb{Q} 		\end{cases} 	\end{array}

    Parodyti, kad funkcija netolydi kiekviename taške.

  3. Tegu {f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}} ir

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 f(x)=\begin{cases} 	 0,&\; x\in \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q},\\ 		\frac{1}{b},&\; x\in \mathbb{Q}, \; x=\frac{a}{b}, \text{ (neprastinama 		trupmena)} 	 \end{cases} 	\end{array}

    Parodyti, kad funkcija tolydi iracionaliuose taškuose ir netolydi racionaliuose. (263)

  4. Tegu funkcija {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} yra funkcija su reikšmėmis

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 f(x)=\begin{cases} 	 x^3+2,&\; \text{ jei } x\le 0,\\ 	 	x^2-2,&\; \text{ jei } 02. 	 \end{cases} 	\end{array}

    Rasti funkcijos {f} tolydumo ir trūkio taškus.

  5. Tegu {f(x):=\{x\}} (skaičiaus trupmeninė dalis). Rasti funkcijos trūkio taškų aibę. (253)
  6. Tarkime, kad {f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}} yra tolydi funkcija. Įrodyti, kad egzistuoja tokia tolydi funkcija {g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}}, kad {g(x)=f(x)} kiekvienam {x\in[a,b]} (tokia funkcija vadinama funkcijos {f} tolydžiuoju tęsiniu). Įrodykite, kad šis teiginys nėra teisingas bet kuriai tolydžiai funkcijai {f:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}}.

Namų darbai

  1. Tarkime, kad funkcija {f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}} yra tolydi ir {c\in \mathbb{R}} yra toks, kad {f(c)>0}. Įrodyti egzistuojant tokį {\delta}, kad {f(x)>f(c)/2} kiekvienam {x\in O_{\delta}(c)}.
  2. Tegu {a\in \mathbb{R}} ir {f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}} yra funkcija su reikšmėmis

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 f(x)=\begin{cases} 		x^2-x+1,&\; \text{ jei } x\le 1,\\ 	 	ax+1,&\; \text{ jei } x>1. 	 \end{cases} 	\end{array}

    Kokioms {a} reikšmėms funkcija {f} yra tolydi?

  3. Tarkime, kad {f:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}} yra tokia funkcija, kad

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 f(\lambda x+ (1-\lambda)y)\le \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y) 	\end{array}

    visiems {x,y\in(a,b)} ir {\lambda\in(0,1)} (tokia funkcija vadinama iškiliąja). Įrodyti, kad {f} yra tolydi