1. Tegul {f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}} ir {g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}} yra tolydžios funkcijos. Tarkime, kad {f(0)g(0)}. Įrodyti egzistuojant tokį tašką {c\in(0,1)}, kad {f(c)=g(c)}.

  2. Tarkime, kad funkcija {f[0,2]\rightarrow \mathbb{R}} yra tolydi ir {f(0)=f(2)}. Įrodyti, kad intervale {[0,2]} egzistuoja tokie skaičiai {a} ir {b}, kad {a-b=1} ir {f(a)=f(b)}.
  3. Tarkime, kad {a<b} ir funkcija {f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}} yra dalimis monotoninė. Jei {f} turi vidurinės reikšmės savybę intervale {[a,b]}, tai ji yra tolydi intervale {(a,b)}.
  4. Rasti funkcijos {f:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}} išvestinę intervalo {(a,b)} taškuose pagal apibrėžimą, kai:

    1. {f(x)=r}
    2. {f(x)=x}
    3. {f(x)=x^{\alpha}}, {\alpha\in \mathbb{R}}.
    4. {f(x)=\sin x}.
  5. Rasti funkcijų išvestines:
    1. {\displaystyle{\frac{\ln(\cos (x^2))}{\tan(e^x)}}}
    2. {\displaystyle{\frac{\exp(\cos (\ln 		(x^3)))}{\sqrt{|\sin(x)|}}}}
    3. {4\sqrt{\sqrt{x+2}-1}-2\sqrt{2}\arctan\sqrt{\frac{\sqrt{x+2}-1}{2}}+1}
    4. {\arctan\sqrt{\cos 2x}-\sqrt{\cos2x}}
    5. {\sin^2(w\cos\alpha x)+\cos^2(w\sin\alpha x)}
    6. {ctg(a\tan(b\arctan(cx)))}
    7. {\log_{a}^c\sqrt{\frac{x+1}{x+b}}}
    8. {\ln^a(\ln^b(\ln^c x))}
    9. {x^{\sin x}+(\sin x)^x}
    10. {x^{(\ln x)^x}}
    11. {x^{x^{x^x}}}
  6. Rasti funkcijų išvestines
    1. {\displaystyle\arcsin\frac{1}{|x|}} (9)
    2. {\displaystyle[x]\sin^2\pi x} (9)

Namų darbai

  1. Tarkime, kad {f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}} yra funkcija, {\alpha\in(0,1]} ir egzistuoja toks skaičius {C\in \mathbb{R}}, kad

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 |f(x)-f(y)|\le C|x-y|^{\alpha} 	\end{array}

    visiems {x,y\in [a,b]} (tada sakoma, kad funkcijai {f} galioja Hölderio sąlyga su rodikliu {\alpha}). Įrodyti, kad {f} yra tolygiai tolydi.

  2. Pateikti tokį tolygiai tolydžios funkcijos {f} pavyzdį, kuriai negalioja Hölderio sąlyga su rodikliu {1}. Nuoroda: nagrinėti funkciją su reikšmėmis {f(x)=\sqrt{x}}.
  3. Kuriuose taškuose diferencijuojamos funkcijos {|\sin x|} ir {\sin|x|}?
  4. Tarkime, kad tolydi funkcija {f:[a,b]} yra diferencijuojama atvirame intervale {(a,b)} ir {f'(x)=0}, kiekvienam {x\in (a,b)}. Įrodyti, kad {f} yra pastovioji funkcija su vienintele reikšme {r\in \mathbb{R}}, t.y. {f(x)=r}, kiekvienam {x\in[a,b]}.

  5. Tarkime, kad {f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}} yra funkcija su reikšmėmis {0\le f(x)\le x^2} kiekvienam {x\in \mathbb{R}}. Įrodyti, kad {f} yra diferencijuojama taške {0} ir {f'(0)=0}.