1. Rasti visus funkcijos {f} kritinius taškus ir nusakyti, kurie taškai yra stacionarumo, o kuriuose funkcija nėra diferencijuojama.

    1. {f(x)=x^3-3x^2+2x+1}
    2. {f(x)=(x^2-1)^{2/3}}
    3. {f(x)=\sin(\pi x^2)}
  2. Duotam intervalui {I} ir funkcijai {f:I\rightarrow \mathbb{R}} rasti funkcijos minimumą ir maksimumą arba paaiškinti kodėl jis neegzistuoja.
    1. {f(x)=x^3-27x}, {I=[-2,4]}
    2. {f(x)=(x^2-16)^{2/3}}, {I=[-5,6)}
    3. {f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}}, {I=(-\infty,\infty)}
  3. Džeimsas Bondas yra vienoje pusėje 12 mylių platumo kanjono, kurio kitoje pusėje yra slapta karinė bazė nutolusi nuo jo per 20 mylias, iki kurios jam reikia nusigauti. Džeimsas Bondas turi įtaisą kuriuo gali persikelti per kanjoną tiesia linija 3 mylių per valandą greičiu. Persikėlęs jis gali tęsti savo misiją pėsčiomis 5 mylių per valandą greičiu. Kur kitoje kanjono pusėje jam geriausiai persikelti, kad iki karinės bazės jis nusigautų greičiausiai?
  4. Lordas nusprendė pastatyti stačiakampį aptvarą ant uolos kuri yra upės krantas. Jis turi 1000 pėdų tvoros, bet jam nereikia tverti tos uolos pusės kuri yra prie upės krantas (krantas yra tiesi linija). Kokie aptvaro išmatavimai duos didžiausią aptveriamą plotą?
  5. Viela kuri yra ilgio {L} yra padalinama į dvi dalis. Viena dalis yra sulenkiama į apskritimą, kita į kvadratą. Kokiomis proporcijomis reikia padalinti vielą, kad gautų figūrų plotai būtų maksimalūs?
  6. Cilindro, kurio aukštis yra {h}, o pagrindo spindulys {r}, tūris yra {V=\pi r^2h}, o paviršiaus plotas {S=2\pi r(r+h)}.

    1. Kokie turėtų būti uždaros cilindrinės skardinės, kurios tūris yra 2000{\pi} kubinių colių, išmatavimai, kad jai pagaminti būtų sunaudota mažiausiai skardos?
    2. Kokio didžiausio tūrio skardinė gali būti padaryta iš {600 \pi} kvadratinių colių skardos gabalo?
    3. Ištirkite kaip pasikeičia šie atsakymai, jei skardinė turi vieną atvirą galą.
  7. Raskite tokį kreivės {y=x^2} tašką, kurios yra arčiausiai taško {(16,\frac{1}{2})}.
  8. Stačiakampis yra įbrėžtas į elipsę, kurios lygtis yra {x^2+4y^2=4}. Raskite didžiausio ploto tokio stačiakampio išmatavimus.
  9. Normandiškas langas yra stačiakampio su puslankiu viršuje formos. Puslankio diametras sutampa su stačiakampio pločiu.

    1. Parodyti, kad didžiausio ploto normandiškas langas su fiksuotu perimetru {P} yra tas, kurio stačiakmpio aukštis yra pusė jo pločio.
    2. Kaip pasikeičia problema, jeigu mes fiksuotume reikalingo rėmo ilgį, laikydami, kad prie išorinio rėmo dar reikia rėmo dalies, stačiakampio viršui?

Namų darbai

  1. Rasti visus funkcijos {f} kritinius taškus ir nusakyti, kurie taškai yra stacionarumo, o kuriuose funkcija nėra diferencijuojama.

    1. {f(x)=3x^4-20x^3+36x^2+3}
    2. {f(x)=\frac{x}{x^2+1}}
    3. \displaystyle  \begin{array}{rcl}  		 f(x)=  	\begin{cases}	 2-x, \text{ kai} x<-1,\\4-x^2,  \text{ kai } -1\le x\le 2,\\ x^2-8x+12, \text {kai } x>2. \end{cases}\end{array}

  2. Duotam intervalui {I} ir funkcijai {f:I\rightarrow \mathbb{R}} rasti funkcijos minimumą ir maksimumą arba paaiškinti kodėl jis neegzistuoja.
    1. {f(x)=x^3-27x}, {I=[-2,4]}
    2. {f(x)=(x^2-16)^{2/3}}, {I=[-5,6)}
    3. {f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}}, {I=(-\infty,\infty)}
  3. Pateikite pavyzdį funkcijos apibrėžos tiesėje {\mathbb{R}}, kuri turi lokalų maksimumą taške {a}, bei lokalų minimumą taške {b}, bet {f(a)<f(b)}.
  4. Turime du koridorius kurie susijungia stačiu kampu, ir kurio vieno plotis yra {w_1}, o kito {w_2}. Kokio maksimalaus ilgio kopėčias galima pranešti šiuo praėjimu?