1. Kiekvienai iš funkcijų raskite: taškus, kur funkcija kerta {x} ir {y} ašį, horizontaliąsias ir vertikaliąsias funkcijos asimptotes, intervalus, kuriuose funkcija yra monotoninė, iškilumo ir įgaubtumo intervalus, funkcijos lokalius minimumus ir maksimumus, funkcijos išlinkio taškus. Remdamiesi šia informacija nubrėžkite funkcijos grafiką.

    1. {f(x)=\frac{x^{4/3}}{2}-2x^{1/3}}
    2. {f(x)=x^{5/3}+5x^{-1/3}}
    3. {f(x)=x-\frac{4}{x}}
    4. {f(x)=\frac{x^2+x-2}{x^{2}-x-2}}
    5. {f(x)=e^{-x^2/2}}
    6. \displaystyle  \begin{array}{rcl}  		 f(x)=\begin{cases} 			x+2, \text{ kai } x\le -1,\\ 			x^2, \text{ kai } x\ge -1. 		 \end{cases} 		\end{array}

  2. Nubrėžkite funkcijos {f} tenkinančios visas nurodytas sąlygas grafiką, arba paaiškinkite, kodėl tokia funkcija neegzistuoja:
    1. {f} turi lokalų minimumą taškuose {x=-1}, {x=1} ir {x=3};
    2. {f} turi lokalų maksimumą taškuose {x=-3}, {x=0}, {x=2} ir {x=5}.
    3. {\max f(x)=f(-3)=2}
    4. {\min f(x)=f(1)=-5}
    5. {f} yra diferencijuojama išskyrus tašką {x=5}.
  3. Kiekvienam nurodytam reiškiniui arba pateikite pavyzdį arba įrodykite, kad toks reiškinys neįmanomas:
    1. {f} turi lokalų minimumą taškuose {x=-1}, {x=1} ir {x=3};
    2. {f} turi lokalų maksimumą taškuose {x=-3}, {x=0}, {x=2} ir {x=5}.
    3. {\max f(x)=f(-3)=2}
    4. {\min f(x)=f(1)=-5}
    5. {f} yra diferencijuojama išskyrus tašką {x=5}.
  4. Kiekvienam nurodytam reiškiniui arba pateikite pavyzdį arba įrodykite, kad toks reiškinys neįmanomas:
    1. Išlinkio taškas, kuris yra ir lokalaus ekstremumo taškas.
    2. Stipriai monotoniška funkcija kur yra išgaubta visoje tiesėje {(-\infty,\infty)}
    3. Aprėžta funkcija, kuri yra iškila tiesėje {(-\infty,\infty)}

  5. Tarkime, kad {f} yra du kartus tolydžiai diferencijuojama funkcija intervale {(a,b)} ir šiame intervale yra trys skirtingi taškai {x_1}, {x_2} ir {x_3}, kuriuose {f(x_1)=f(x_3)=f(x_3)}. Įrodykite, kad egzistuoja toks taškas {c}, kuriam {f^{(2)}(c)=0}
  6. Tarkime, kad {f} ir {g} yra du kartus tolydžiai diferencijuojamos funkcijos intervale {(a,b)}. Tegu {c\in(a,b)} ir {f(c)=f'(c)=0=g(c)=g'(c)}, ir {g^{(2)}(c)=0}. Parodykite, kad \begin{align*} \lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{(2)}(c)}{g^{(2)}(c)} \end{align*}
  7. Raskite sinuso funkcijos Tayloro formulę taške {0}.
  8. Rasti funkcijos {e^{2x-x^2}} Tayloro formulę su nariais iki {x^{5}}. (129)
  9. Rasti funkcijos {\sqrt[3]{\sin x^{3}}} Tayloro formulę su nariais iki {x^{13}}.(130)

Namų darbai

  1. Kiekvienai iš funkcijų raskite: taškus, kur funkcija kerta {x} ir {y} ašį, horizontaliąsias ir vertikaliąsias funkcijos asimptotes, intervalus, kuriuose funkcija yra monotoninė, iškilumo ir įgaubtumo intervalus, funkcijos lokalius minimumus ir maksimumus, funkcijos išlinkio taškus.

    1. {f(x)=x^{4}-x^{2}}
    2. {f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+x-2}}
  2. Raskite kosinuso funkcijos Tayloro formulę taške {0}.
  3. Raskite funkcijos {\sin(\cos x)} Tayloro formulę su nariais iki {x^3}.