1. Rinkinys {\{(\frac{1}{n},n\in \mathbb{N})\}} yra intervalo {(0,1)} atvirasis denginys. Ar šis denginys turi baigtinį podenginį?

  2. Sukonstruoti tokį skaitų rinkinį kompaktinių aibių, kurių sąjunga nėra kompaktinė aibė.
  3. Tegul {K} yra euklidinės erdvės kompaktinė aibė. Tada egzistuoja tokie vektoriai {u\in K} ir {v\in K}, kad

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 \|{u}\|_2\le \|{x}\|_2\le\|{v}\|_2,\text{ visiems } x\in K 	\end{array}

  4. Tegul {K} yra euklidinės erdvės kompaktinė aibė ir {y\notin K}. Įrodyti, kad egzistuoja toks elementas {u\in K}, kad

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 \|{u-y}\|_2\le \|{x-y}\|_2, \text{ visiems } x\in K, 	\end{array}

    t.y. egzistuoja artimiausias {y}-ui aibės {K} elementas.

  5. Tegul {f:\mathbb{R}^p\rightarrow \mathbb{R}^q}, {x_0\in\mathbb{R}^p} ir {c\in \mathbb{R}^q}. Įrodyti, kad {f(x)\rightarrow c}, kai {x\rightarrow x_0} tada ir tik tada, kai {\|f(x)-c\|_{2}\rightarrow 0}, kai {x\rightarrow x_0}.
  6. Įrodyti, kad funkcijos

    1. {(x,y)\rightarrow x+y}{\mathbb{R}^d\times \mathbb{R}^d} į {\mathbb{R}^d}
    2. {(\lambda,x)\rightarrow \lambda x}{\mathbb{R}\times \mathbb{R}^d} į {\mathbb{R}^d}
    3. {(x,y)\rightarrow x\cdot y}{\mathbb{R}^d\times \mathbb{R}^d} {\mathbb{R}}

    yra tolydžios.

  7. Tegu {f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}} ir

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 f(x_1,x_2)=\frac{x_1^2x_2^2}{x_1^2x_2^2+(x_1-x_2)^2}. 	\end{array}

    Parodyti, kad

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	\lim_{x_1\rightarrow0}\left(\lim_{x_2\rightarrow0}f(x_1,x_2)\right) 	=\lim_{x_2\rightarrow0}\left(\lim_{x_1\rightarrow0}f(x_1,x_2)\right)=0 \end{array}

    bet {\lim_{x\rightarrow0}f(x)} neegzistuoja.

  8. Tegu {f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}} ir

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 f(x_1,x_2)=(x_1+x_2)\sin\frac{1}{x_1}\sin\frac{1}{x_2}. 	\end{array}

    Parodyti, kad { 	\lim_{x_1\rightarrow0}\left(\lim_{x_2\rightarrow0}f(x_1,x_2)\right)} ir {\lim_{x_2\rightarrow0}\left(\lim_{x_1\rightarrow0}f(x_1,x_2)\right)} neegzistuoja, bet {\lim_{x\rightarrow 0}f(x)} egzistuoja.