You are currently browsing the category archive for the ‘Matematinė analizė’ category.

Teorijos pratybų patikrinimo ir namų darbų perlaikymai vyks rugsėjo 21 d., antradienį 9 val. 116 auditorijoje ir 15.30 400 auditorijoje. Ateikite jums patogiu laiku.

Reklama

Back by popular demand. Įdedu 3 namų darbų sprendimus. Perspėju, kad jie yra ranka rašyti ir iš praeitų metų, taigi juose išspręsta daugiau uždavinių, negu yra 3 namų sprendimuose. Sprendimai parašyti laisva forma, taigi idėja visados bus, bet detalių kai kur gali pritrūkti. Kalba nėra taisyta, žodžiu have fun. Jeigu netenkina kokybė pagalvokite, kad praeito semestro pradžioje man teko skaityti kur kas daugiau panašios kokybės darbų 🙂

Paskelbti galutiniai pirmos grupės teorijos pratybų patikrinimo rezultatai. Jeigu kyla neaiškumų dėl antrojo patikrinimo, kreipkitės pas Jurgitą Markevičiūtę.

Paskelbti trečiojo teorijos pratybų patikrinimo rezultatai ir preliminarūs galutiniai pirmos grupės teorijos pratybų patikrinimo rezultatai (be antrojo teorijos pratybų patikrinimo). Darbus galima pažiūrėti ketvirtadienį, birželio 3 iš anksto susitarus elektroniniu paštu.

Trečiasis teorijos pratybų patikrinimas vyks penktadienį, gegužės 28 dieną, 8.30 val., 103 auditorijoje.

Paskelbti namų darbų nr. 1 rezultatai.

  1. Rinkinys {\{(\frac{1}{n},n\in \mathbb{N})\}} yra intervalo {(0,1)} atvirasis denginys. Ar šis denginys turi baigtinį podenginį?
  2. Sukonstruoti tokį skaitų rinkinį kompaktinių aibių, kurių sąjunga nėra kompaktinė aibė.
  3. Tegul {K} yra euklidinės erdvės kompaktinė aibė. Tada egzistuoja tokie vektoriai {u\in K} ir {v\in K}, kad

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 \|{u}\|_2\le \|{x}\|_2\le\|{v}\|_2,\text{ visiems } x\in K 	\end{array}

  4. Tegul {K} yra euklidinės erdvės kompaktinė aibė ir {y\notin K}. Įrodyti, kad egzistuoja toks elementas {u\in K}, kad

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 \|{u-y}\|_2\le \|{x-y}\|_2, \text{ visiems } x\in K, 	\end{array}

    t.y. egzistuoja artimiausias {y}-ui aibės {K} elementas.

  5. Tegul {f:\mathbb{R}^p\rightarrow \mathbb{R}^q}, {x_0\in\mathbb{R}^p} ir {c\in \mathbb{R}^q}. Įrodyti, kad {f(x)\rightarrow c}, kai {x\rightarrow x_0} tada ir tik tada, kai {\|f(x)-c\|_{2}\rightarrow 0}, kai {x\rightarrow x_0}.
  6. Įrodyti, kad funkcijos
    1. {(x,y)\rightarrow x+y}{\mathbb{R}^d\times \mathbb{R}^d} į {\mathbb{R}^d}
    2. {(\lambda,x)\rightarrow \lambda x}{\mathbb{R}\times \mathbb{R}^d} į {\mathbb{R}^d}
    3. {(x,y)\rightarrow x\cdot y}{\mathbb{R}^d\times \mathbb{R}^d} {\mathbb{R}}

    yra tolydžios.

  7. Tegu {f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}} ir

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 f(x_1,x_2)=\frac{x_1^2x_2^2}{x_1^2x_2^2+(x_1-x_2)^2}. 	\end{array}

    Parodyti, kad

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	\lim_{x_1\rightarrow0}\left(\lim_{x_2\rightarrow0}f(x_1,x_2)\right) 	=\lim_{x_2\rightarrow0}\left(\lim_{x_1\rightarrow0}f(x_1,x_2)\right)=0 \end{array}

    bet {\lim_{x\rightarrow0}f(x)} neegzistuoja.

  8. Tegu {f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}} ir

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 f(x_1,x_2)=(x_1+x_2)\sin\frac{1}{x_1}\sin\frac{1}{x_2}. 	\end{array}

    Parodyti, kad { 	\lim_{x_1\rightarrow0}\left(\lim_{x_2\rightarrow0}f(x_1,x_2)\right)} ir {\lim_{x_2\rightarrow0}\left(\lim_{x_1\rightarrow0}f(x_1,x_2)\right)} neegzistuoja, bet {\lim_{x\rightarrow 0}f(x)} egzistuoja.

Paskelbti pirmojo teorijos pratybų patikrinimo rezultatai. Kiekvienas uždavinys buvo vertinamas 10 balų skalėje. Taigi buvo galima surinkti iki 40 balų. Galutinis pažymys 10 buvo rašomas surinkus 32 balus. Darbus galima peržiūrėti pas mane 205 kabinete.

  1. {\mathbb{R}^3} erdvės vektoriams {x=(3,0,-1)} ir {y=(1,2,3)} rasti:
    1. vektorių {3x-y};
    2. skaliarinę sandaugą {x\cdot y};
    3. euklidinius ilgius {\|x\|_2} ir {\|y\|_2};
    4. euklidinį atstumą {\rho_2(x,y)}.
  2. Tegul {a,b,c\in \mathbb{R}} ir bet kuriems {x=(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2}, {y=(y_1,y_2)\in \mathbb{R}^2} tegul

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  		q(x,y)=ax_1y_1+bx_1y_2+bx_2y_1+cx_2y_2. 	 \end{array}

    Su kokiais {a,b,c\in\mathbb{R}} funkcijai {q(\cdot,\cdot):\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}} galioja savybės:

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  		&q(x,x)>0, \text{ jei } x\neq 0,\\ 		&q(x,y)=q(y,x),\\ 		&q(x,\lambda y+\mu z)=\lambda q(x,y) + \mu q(x,z). 	 \end{array}

  3. Tegu {x,y\in \mathbb{R}^d} ir {\|\cdot\|} yra norma erdvėje {\mathbb{R}^d}. Įrodyti, kad

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  		|\|x\|-\|y\||\le \|x-y\| 	 \end{array}

  4. Pavaizduoti erdvės {\mathbb{R}^d} aibes {\{\|x\|_2=1,x\in\mathbb{R}^2\}}, {\{\|x\|_1=1,x\in\mathbb{R}^2\}}, {\{\|x\|_{\max}=1,x\in\mathbb{R}^2\}}
  5. Kiekvienam {n\in\mathbb{N}} tegul

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 x_n:=\left(\frac{n}{1+n},\frac{1-n}{n}\right)\in \mathbb{R}^2 	\end{array}

    Naudojant tik sekos konvergavimo apibrėžimą, įrodyti, kad vektorių seka {(x_n)} konverguoja į vektorių {(1,-1)}, kai {n\rightarrow\infty}.

  6. Su kiekvienu {n\in \mathbb{N}}, tegul {x_n:=(e^{-n}\sin n, 	e^{-n}\cos n)\in \mathbb{R}^2}. Ar vektorių seka {(x_n)} turi ribą? Atsakymą pagrįsti.
  7. Tarkime, kad vektorių seka {(x_n)} konverguoja į vektorių {y}. Įrodyti, kad bet kuris jos posekis {(x_{n_k})} taip pat konverguoja į vektorių {y}.
  8. Parodyti, kad jei {\|x_n-x\|_{\max}\rightarrow 0}, tai {\|x_n\|_{\max}\rightarrow\|x\|_{\max}}.

Namų darbai.

  1. Įrodyti, kad bet kuriems {x,y,z\in \mathbb{R}^d} ir {\lambda,\mu\in \mathbb{R}},

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  		&x\cdot x>0, \text{ jei } x\neq 0,\\ 		&x\cdot y = y\cdot x,\\ 		&x\cdot(\lambda y +\mu z)= \lambda(x\cdot y) +\mu (x\cdot z). 	 \end{array}

  2. Įrodyti, kad funkcijoms {\|\cdot\|_1} ir {\|\cdot\|_{\max}} galioja savybės:
    1. kiekvienam {x\in \mathbb{R}^d}, {\|x\|\ge 0};
    2. kiekvienam {x\in \mathbb{R}^d}, {\|x\|=0} tada ir tik tada, kai {x=0};
    3. visiems {x\in \mathbb{R}^d} ir {\lambda\in \mathbb{R}}, {\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|};
    4. visiems {x,y\in\mathbb{R}^d}, {\|x+y\|\le \|x\|+\|y\|}.
  3. Tegu

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 x_n=\left(\frac{n+1}{n},\frac{(-1)^n}{n}\right) 	\end{array}

    Rasti (pateikti įrodymus)

    1. {\lim x_n};
    2. {\lim \|x_n\|_2};
    3. {\lim \|x_n\|_1};
    4. {\lim \|x_n\|_{\max}}.
  4. Tarkime, kad {\mathbb{R}^d} erdvės elementų seka {(x_n)} konverguoja į nulį, kai {n\rightarrow\infty} ir {\mathbb{R}^d} erdvės elementų seka {(y_n)} yra aprėžta. Įrodyti, kad {x_n\cdot y_n\rightarrow 0}, kai {n\rightarrow\infty}.
  1. Naudojant racionaliųjų funkcijų integravimo metodus suintegruoti:
    1. {\int \frac{xdx}{(x-1)^2(x+2)} }
    2. {\int \frac{dx}{x(x+1)(x^2+x+1)}}
    3. {\int \frac{dx}{x^3+1}}
  2. Rasti iracionaliųjų funkcijų integralus
    1. {\int\frac{x\sqrt[3]{2+x}}{x+\sqrt[3]{2+x}}} (97)
    2. {\int \frac{dx}{x+\sqrt{x^2+x+1}}} (106)
    3. {\int \frac{dx}{1+\sqrt{1-2x-x^2}}} (107)
  3. Suintegruoti trigonometrines funkcijas
    1. {\int \frac{dx}{\sin^3x}} (114)
    2. {\int \tan^{5}x} (116)
    3. {\int \frac{dx}{\sin(x+a)\sin(x+b)}} (122)
  4. Rasti integralus:
    1. {\int_0^{200\pi}\sqrt{1-\cos 2x}dx}
    2. {\int_0^{\pi/2}\sin^nxdx}
    3. {\int_0^1x^m(\ln x)^ndx}