You are currently browsing the category archive for the ‘Matematinė analizė’ category.

  1. Pasinaudodami kintamųjų keitimu suintegruokite
    1. {\int \frac{dx}{1+\sin x}}
    2. {\int \frac{x^3dx}{x^8-2}}
    3. {\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}}
    4. {\int \frac{\sin x\cos xdx}{\sqrt{a^2\sin^2 x+b^2\cos^2x}}}
    5. {\int \frac{dx}{\sin x}}
  2. Pasinaudodami integravimu dalimis suintegruokite
    1. {\int x^2\arccos xdx}
    2. {\int\frac{\arcsin x}{x^2}dx}
    3. {\int \arctan\sqrt{x} dx}
    4. {\int \frac{dx}{(a^2+x^2)^2}}
    5. {\int \sqrt{a^2-x^2}dx}
  3. Suintegruoti naudojantis kintamųjų keitimu:
    1. {\int\frac{x^5dx}{\sqrt{1-x^2}}}
    2. {\int \frac{dx}{\sqrt{1+e^x}}}
    3. {\int \sqrt{a^2-x^2}dx}
  1. Kiekvienai iš funkcijų raskite: taškus, kur funkcija kerta {x} ir {y} ašį, horizontaliąsias ir vertikaliąsias funkcijos asimptotes, intervalus, kuriuose funkcija yra monotoninė, iškilumo ir įgaubtumo intervalus, funkcijos lokalius minimumus ir maksimumus, funkcijos išlinkio taškus. Remdamiesi šia informacija nubrėžkite funkcijos grafiką.
    1. {f(x)=\frac{x^{4/3}}{2}-2x^{1/3}}
    2. {f(x)=x^{5/3}+5x^{-1/3}}
    3. {f(x)=x-\frac{4}{x}}
    4. {f(x)=\frac{x^2+x-2}{x^{2}-x-2}}
    5. {f(x)=e^{-x^2/2}}
    6. \displaystyle  \begin{array}{rcl}  		 f(x)=\begin{cases} 			x+2, \text{ kai } x\le -1,\\ 			x^2, \text{ kai } x\ge -1. 		 \end{cases} 		\end{array}

  2. Nubrėžkite funkcijos {f} tenkinančios visas nurodytas sąlygas grafiką, arba paaiškinkite, kodėl tokia funkcija neegzistuoja:
    1. {f} turi lokalų minimumą taškuose {x=-1}, {x=1} ir {x=3};
    2. {f} turi lokalų maksimumą taškuose {x=-3}, {x=0}, {x=2} ir {x=5}.
    3. {\max f(x)=f(-3)=2}
    4. {\min f(x)=f(1)=-5}
    5. {f} yra diferencijuojama išskyrus tašką {x=5}.
  3. Kiekvienam nurodytam reiškiniui arba pateikite pavyzdį arba įrodykite, kad toks reiškinys neįmanomas:
    1. {f} turi lokalų minimumą taškuose {x=-1}, {x=1} ir {x=3};
    2. {f} turi lokalų maksimumą taškuose {x=-3}, {x=0}, {x=2} ir {x=5}.
    3. {\max f(x)=f(-3)=2}
    4. {\min f(x)=f(1)=-5}
    5. {f} yra diferencijuojama išskyrus tašką {x=5}.
  4. Kiekvienam nurodytam reiškiniui arba pateikite pavyzdį arba įrodykite, kad toks reiškinys neįmanomas:
    1. Išlinkio taškas, kuris yra ir lokalaus ekstremumo taškas.
    2. Stipriai monotoniška funkcija kur yra išgaubta visoje tiesėje {(-\infty,\infty)}
    3. Aprėžta funkcija, kuri yra iškila tiesėje {(-\infty,\infty)}
  5. Tarkime, kad {f} yra du kartus tolydžiai diferencijuojama funkcija intervale {(a,b)} ir šiame intervale yra trys skirtingi taškai {x_1}, {x_2} ir {x_3}, kuriuose {f(x_1)=f(x_3)=f(x_3)}. Įrodykite, kad egzistuoja toks taškas {c}, kuriam {f^{(2)}(c)=0}
  6. Tarkime, kad {f} ir {g} yra du kartus tolydžiai diferencijuojamos funkcijos intervale {(a,b)}. Tegu {c\in(a,b)} ir {f(c)=f'(c)=0=g(c)=g'(c)}, ir {g^{(2)}(c)=0}. Parodykite, kad \begin{align*} \lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f^{(2)}(c)}{g^{(2)}(c)} \end{align*}
  7. Raskite sinuso funkcijos Tayloro formulę taške {0}.
  8. Rasti funkcijos {e^{2x-x^2}} Tayloro formulę su nariais iki {x^{5}}. (129)
  9. Rasti funkcijos {\sqrt[3]{\sin x^{3}}} Tayloro formulę su nariais iki {x^{13}}.(130)

Namų darbai

  1. Kiekvienai iš funkcijų raskite: taškus, kur funkcija kerta {x} ir {y} ašį, horizontaliąsias ir vertikaliąsias funkcijos asimptotes, intervalus, kuriuose funkcija yra monotoninė, iškilumo ir įgaubtumo intervalus, funkcijos lokalius minimumus ir maksimumus, funkcijos išlinkio taškus.
    1. {f(x)=x^{4}-x^{2}}
    2. {f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+x-2}}
  2. Raskite kosinuso funkcijos Tayloro formulę taške {0}.
  3. Raskite funkcijos {\sin(\cos x)} Tayloro formulę su nariais iki {x^3}.
  1. Rasti visus funkcijos {f} kritinius taškus ir nusakyti, kurie taškai yra stacionarumo, o kuriuose funkcija nėra diferencijuojama.
    1. {f(x)=x^3-3x^2+2x+1}
    2. {f(x)=(x^2-1)^{2/3}}
    3. {f(x)=\sin(\pi x^2)}
  2. Duotam intervalui {I} ir funkcijai {f:I\rightarrow \mathbb{R}} rasti funkcijos minimumą ir maksimumą arba paaiškinti kodėl jis neegzistuoja.
    1. {f(x)=x^3-27x}, {I=[-2,4]}
    2. {f(x)=(x^2-16)^{2/3}}, {I=[-5,6)}
    3. {f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}}, {I=(-\infty,\infty)}
  3. Džeimsas Bondas yra vienoje pusėje 12 mylių platumo kanjono, kurio kitoje pusėje yra slapta karinė bazė nutolusi nuo jo per 20 mylias, iki kurios jam reikia nusigauti. Džeimsas Bondas turi įtaisą kuriuo gali persikelti per kanjoną tiesia linija 3 mylių per valandą greičiu. Persikėlęs jis gali tęsti savo misiją pėsčiomis 5 mylių per valandą greičiu. Kur kitoje kanjono pusėje jam geriausiai persikelti, kad iki karinės bazės jis nusigautų greičiausiai?
  4. Lordas nusprendė pastatyti stačiakampį aptvarą ant uolos kuri yra upės krantas. Jis turi 1000 pėdų tvoros, bet jam nereikia tverti tos uolos pusės kuri yra prie upės krantas (krantas yra tiesi linija). Kokie aptvaro išmatavimai duos didžiausią aptveriamą plotą?
  5. Viela kuri yra ilgio {L} yra padalinama į dvi dalis. Viena dalis yra sulenkiama į apskritimą, kita į kvadratą. Kokiomis proporcijomis reikia padalinti vielą, kad gautų figūrų plotai būtų maksimalūs?
  6. Cilindro, kurio aukštis yra {h}, o pagrindo spindulys {r}, tūris yra {V=\pi r^2h}, o paviršiaus plotas {S=2\pi r(r+h)}.
    1. Kokie turėtų būti uždaros cilindrinės skardinės, kurios tūris yra 2000{\pi} kubinių colių, išmatavimai, kad jai pagaminti būtų sunaudota mažiausiai skardos?
    2. Kokio didžiausio tūrio skardinė gali būti padaryta iš {600 \pi} kvadratinių colių skardos gabalo?
    3. Ištirkite kaip pasikeičia šie atsakymai, jei skardinė turi vieną atvirą galą.
  7. Raskite tokį kreivės {y=x^2} tašką, kurios yra arčiausiai taško {(16,\frac{1}{2})}.
  8. Stačiakampis yra įbrėžtas į elipsę, kurios lygtis yra {x^2+4y^2=4}. Raskite didžiausio ploto tokio stačiakampio išmatavimus.
  9. Normandiškas langas yra stačiakampio su puslankiu viršuje formos. Puslankio diametras sutampa su stačiakampio pločiu.
    1. Parodyti, kad didžiausio ploto normandiškas langas su fiksuotu perimetru {P} yra tas, kurio stačiakmpio aukštis yra pusė jo pločio.
    2. Kaip pasikeičia problema, jeigu mes fiksuotume reikalingo rėmo ilgį, laikydami, kad prie išorinio rėmo dar reikia rėmo dalies, stačiakampio viršui?

Namų darbai

  1. Rasti visus funkcijos {f} kritinius taškus ir nusakyti, kurie taškai yra stacionarumo, o kuriuose funkcija nėra diferencijuojama.
    1. {f(x)=3x^4-20x^3+36x^2+3}
    2. {f(x)=\frac{x}{x^2+1}}
    3. \displaystyle  \begin{array}{rcl}  		 f(x)=  	\begin{cases}	 2-x, \text{ kai} x<-1,\\4-x^2,  \text{ kai } -1\le x\le 2,\\ x^2-8x+12, \text {kai } x>2. \end{cases}\end{array}

  2. Duotam intervalui {I} ir funkcijai {f:I\rightarrow \mathbb{R}} rasti funkcijos minimumą ir maksimumą arba paaiškinti kodėl jis neegzistuoja.
    1. {f(x)=x^3-27x}, {I=[-2,4]}
    2. {f(x)=(x^2-16)^{2/3}}, {I=[-5,6)}
    3. {f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}}, {I=(-\infty,\infty)}
  3. Pateikite pavyzdį funkcijos apibrėžos tiesėje {\mathbb{R}}, kuri turi lokalų maksimumą taške {a}, bei lokalų minimumą taške {b}, bet {f(a)<f(b)}.
  4. Turime du koridorius kurie susijungia stačiu kampu, ir kurio vieno plotis yra {w_1}, o kito {w_2}. Kokio maksimalaus ilgio kopėčias galima pranešti šiuo praėjimu?

Prasidėjo 2009/2010 mokslo metų pavasario semestras. Visa nekintanti informacija apie mano dėstomus dalykus yra čia

Paskelbti galutiniai MA rezultatai.

Paskelbti namų darbų nr. 4 ir galutiniai rezultatai. Jeigu randate kokių nors netikslumų ar iškyla klausimų rašykite elektroniniu paštu.

Paskelbti namų darbų nr. 3 rezultatai.

Paskelbti kurso „Matematinė analizė I“ teorijos pratybų patikrinimo preliminarūs rezultatai. Skaičiavimo formulė dar gali keistis. Kilus neaiškumams rašykite elektroniniu paštu. Rezultatus bus galima peržiūrėti trečiadienį, gruodžio 23 dieną.

Paskelbti namų darbų nr 2. rezultatai.

  1. Tegul {f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}} ir {g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}} yra tolydžios funkcijos. Tarkime, kad {f(0)g(0)}. Įrodyti egzistuojant tokį tašką {c\in(0,1)}, kad {f(c)=g(c)}.
  2. Tarkime, kad funkcija {f[0,2]\rightarrow \mathbb{R}} yra tolydi ir {f(0)=f(2)}. Įrodyti, kad intervale {[0,2]} egzistuoja tokie skaičiai {a} ir {b}, kad {a-b=1} ir {f(a)=f(b)}.
  3. Tarkime, kad {a<b} ir funkcija {f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}} yra dalimis monotoninė. Jei {f} turi vidurinės reikšmės savybę intervale {[a,b]}, tai ji yra tolydi intervale {(a,b)}.
  4. Rasti funkcijos {f:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}} išvestinę intervalo {(a,b)} taškuose pagal apibrėžimą, kai:
    1. {f(x)=r}
    2. {f(x)=x}
    3. {f(x)=x^{\alpha}}, {\alpha\in \mathbb{R}}.
    4. {f(x)=\sin x}.
  5. Rasti funkcijų išvestines:
    1. {\displaystyle{\frac{\ln(\cos (x^2))}{\tan(e^x)}}}
    2. {\displaystyle{\frac{\exp(\cos (\ln 		(x^3)))}{\sqrt{|\sin(x)|}}}}
    3. {4\sqrt{\sqrt{x+2}-1}-2\sqrt{2}\arctan\sqrt{\frac{\sqrt{x+2}-1}{2}}+1}
    4. {\arctan\sqrt{\cos 2x}-\sqrt{\cos2x}}
    5. {\sin^2(w\cos\alpha x)+\cos^2(w\sin\alpha x)}
    6. {ctg(a\tan(b\arctan(cx)))}
    7. {\log_{a}^c\sqrt{\frac{x+1}{x+b}}}
    8. {\ln^a(\ln^b(\ln^c x))}
    9. {x^{\sin x}+(\sin x)^x}
    10. {x^{(\ln x)^x}}
    11. {x^{x^{x^x}}}
  6. Rasti funkcijų išvestines
    1. {\displaystyle\arcsin\frac{1}{|x|}} (9)
    2. {\displaystyle[x]\sin^2\pi x} (9)

Namų darbai

  1. Tarkime, kad {f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}} yra funkcija, {\alpha\in(0,1]} ir egzistuoja toks skaičius {C\in \mathbb{R}}, kad

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 |f(x)-f(y)|\le C|x-y|^{\alpha} 	\end{array}

    visiems {x,y\in [a,b]} (tada sakoma, kad funkcijai {f} galioja Hölderio sąlyga su rodikliu {\alpha}). Įrodyti, kad {f} yra tolygiai tolydi.

  2. Pateikti tokį tolygiai tolydžios funkcijos {f} pavyzdį, kuriai negalioja Hölderio sąlyga su rodikliu {1}. Nuoroda: nagrinėti funkciją su reikšmėmis {f(x)=\sqrt{x}}.
  3. Kuriuose taškuose diferencijuojamos funkcijos {|\sin x|} ir {\sin|x|}?
  4. Tarkime, kad tolydi funkcija {f:[a,b]} yra diferencijuojama atvirame intervale {(a,b)} ir {f'(x)=0}, kiekvienam {x\in (a,b)}. Įrodyti, kad {f} yra pastovioji funkcija su vienintele reikšme {r\in \mathbb{R}}, t.y. {f(x)=r}, kiekvienam {x\in[a,b]}.
  5. Tarkime, kad {f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}} yra funkcija su reikšmėmis {0\le f(x)\le x^2} kiekvienam {x\in \mathbb{R}}. Įrodyti, kad {f} yra diferencijuojama taške {0} ir {f'(0)=0}.

Naujausi komentarai

vzemlys apie Rožiniai akiniai
Audrius apie Rožiniai akiniai
Karl apie Time series data aggregation u…
Vytautas Astrauskas apie Matematinio teksto rinkimo tur…
Auksinis kardas apie Drawing national flags on maps…
2020 m. gegužės mėn.
Pr A T K Pn Š S
 123
45678910
11121314151617
18192021222324
25262728293031