You are currently browsing the category archive for the ‘Rinktiniai analizės skyriai’ category.

Galutinius teorijos pratybų patikrinimo rezultatus rasite čia.

Paskelbti pirmieji teorijos pratybų patikrinimo rezultatai. Jeigu nerandate savo rezultatų vadinasi, nenurodėte savo studento pažymėjimo numerio.

  1. Suskaičiuoti integralą {\int_0^{1+i}z^2dz}.

  2. Suskaičiuoti integralą {\int_{|z|=1}\frac{dz}{z}}.
  3. Suskaičiuoti integralą {\int_{\Gamma}\frac{dz}{\sqrt[4]{z}}}, čia {\Gamma=\{z\in\mathbb{C}: |z=1|, \Im z\ge 0\}}:
    1. laikant {\sqrt[4]{1}=1},
    2. laikant {\sqrt[4]{1}=i} ir kreivės {\Gamma} pradinis taškas yra {z=1}.
  4. Suskaičiuoti integralą {\int_{\Gamma}\bar{z}dz}, kai {\Gamma=\{z\in \mathbb{C}: \|(x,y)\|_{\max}=1 \}}.
  5. Suskaičiuoti integralą {\int_{\Gamma}\frac{1+z^2}{z}dz}, čia {\Gamma=\{z\in\mathbb{C}:z=Re^{it}, t\in[0,\pi]\}}
  6. Suskaičiuoti integralą {\int_{1}^i\frac{\ln(z+1)}{z+1}dz} apskritimo {|z|=1}, {\Im z\ge 0}, {\Re z\ge 0}.
  1. Kuri plokštumos dalis yra ištempiama, jei

    1. {w=\frac{1}{1-z}}?
    2. {w=e^{2z}}?
    3. {w=z^{3}}?
  2. Kuri plokštumos dalis yra suspaudžiama, jei
    1. {w=z^2}?
    2. {w=\frac{z+1}{z+2}}?
  3. Rasti kokiu kampu taško {z_{0}} aplinka pasukama apie tašką {z_{0}}, kai atvaizdis {w=f(z)}
    1. {f(z)=\frac{z+i}{z-i}}, {z_0=1},
    2. {f(z)=\cos z}, {z_0=i},
    3. {f(z)=2iz}, {z_0=3+2i}.
  4. Rasti tiesinę funkciją {w=az+b}, skritulį {|z-z_0|\le r} atvaizduojančią į skritulį {|w-w_0|\le R}.
  5. Į kokias kreives funkcija {w=\frac{1}{z}} vaizduoja

    1. tiesę {x+y-2=0}?
    2. tiesę {\Re z+\Im z=1}?
    3. apskritimą {|z-2|=1}?
  6. Raskite deformacijos koeficientą ir posūkio kampą:
    1. {w=3^{-iz}+2z^2}, {z_{0}=0}
    2. {w=\frac{z+1}{z-1}}, {z_0=3+i}
  7. Į kokią sritį funkcija {w=\sin z} vaizduoja pusjuostę {0<\Re z0}?
  8. Raskite sritį, į kurią funkciją {w=ch z} vaizduoja pusjuostę {0<\Im z0}.
  1. Raskite funkcijų {w=f(z)} realias ir menamąsias dalis:

    1. {w=z^3-i\bar{z}+3}
    2. {w=z\cos z+\bar z}
    3. {w=\sin z+i(3z+2)}
  2. Ar diferencijuojama funkcija {w=\frac{x-iy}{x^2+y^2}}?
  3. Ištirti funkcijų diferencijavimą ir rasti jų išvestines:

    1. {e^z}
    2. {\sin z}
    3. {\log z}
  4. Įrodykite, kad šios funkcijos yra diferencijuojamos tik taške 0:
    1. {|z|z}
    2. {z \Re z}
    3. {z \Im z}
    4. {|z|\Re \bar{z}}.
  5. Kurios iš šių funkcijų ir kokioje srityje yra analizinės:
    1. {w=|z|\Re z-2z}
    2. {w=\frac{1}{z}\sin z-3z}
    3. {w=z\Im z+|z|\bar z}
    4. {w=ze^{-z}-3iz}
  6. Rasti ribas:
    1. {\lim_{z\rightarrow 1}\frac{\ln z}{z-1}}
    2. {\lim_{z\rightarrow 0}\frac{1-\cos z}{z^2}}.
  1. Apskaičiuokite {z^{14}+z^{-14}}, kai {z} yra lygties {z+1/z=1} šaknys.
  2. Raskite plokštumos {\mathbb{C}} taškų {z} aibes ir pavaizduokite jas geometriškai:

    1. {|z+1-i|=|z-1+i|}
    2. {|z+1+2i|\le 0}
    3. {arg z=(2n+1)\pi}, {n\in \mathbb{Z}}.
  3. Įrodykite tapatybes
    1. {|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2(|z_1|^2+|z_2|^2)}
    2. {|z_1\bar{z_2}-1|^2-|z_1-z_2|^2=(|z_1|^2-1)(|z_{2}|^2-1)}
  4. Įrodykite kad {\arg \bar{z}=2\pi -\arg z}, kai {\bar{z}\neq z}.
  5. Nustatykite, kuri iš aibių yra sritis ir pavaizduokite ją geometriškai

    1. {|z-1|<1} ir {|z-5i|<1}
    2. {|z-i|\ge 1} ir {|z-i|\le 2}
    3. {|z|<5}, {z\notin |Im z|<1} ir {|Re z|<1}.
  6. Rasti šių sekų ribas:
    1. {\frac{2n-1}{n}+i\frac{n-3}{3}}
    2. {\exp\left(i\left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2n}\right)\right)}
    3. {\sin \frac{\pi}{2^n}+i\frac{n^2-3}{5n^2+1}}
  7. Ištirkite kaip konverguoja šios eilutės:
    1. {\sum_{n=1}^\infty\frac{sh(i\sqrt{n})}{\sin in}}
    2. {\sum_{n=1}^\infty \frac{\log n}{sh(in)}}

Prasidėjo 2009/2010 mokslo metų pavasario semestras. Visa nekintanti informacija apie mano dėstomus dalykus yra čia

Įdėtas testas su atsakymais. Jeigu pasitikrinę manot, kad jūsų pažymys neteisingas, praneškite apie tai (elektroniniu paštu), nurodydami, kuriuos jūsų nuomone klausimus jūs teisingai atsakėte. Darbai bus peržiūrimi trečiadienį, gruodžio 23 dieną.

Paskelbti galutiniai kurso „Rinktiniai analizės skyriai“ pratybų rezultatai. Kylant neaiškumams rašykite elektroniniu paštu. Darbus bus galima peržiūrėti trečiadienį, gruodžio 23 d.

  1. Sukeisti vietomis integravimo tvarką

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 \int_{1}^2dx\int_{2-x}^{\sqrt{2x-x^2}}f(x,y)dy 	\end{array}

  2. Sukeisti vietomis integravimo tvarką

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 \int_{0}^{2a}dx\int_{\sqrt{2ax-x^2}}^{\sqrt{2ax}}f(x,y)dy 	\end{array}

  3. Sukeisti vietomis integravimo tvarką

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	\int_{0}^{2\pi}dx\int_{0}^{\sin x}f(x,y)dy \end{array}

  4. Pereiti prie polinių koordinačių integrale {\int_Df(x,y)dxdy}, bei nurodyti integravimo rėžius, kai {D=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:x^2+y^2\le ax(a>0)\}}
  5. Pereiti prie polinių koordinačių integrale {\int_{0}^1\int_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}}f(x,y)}