You are currently browsing the category archive for the ‘Rinktiniai analizės skyriai’ category.

  1. Naudojant racionaliųjų funkcijų integravimo metodus suintegruoti:
    1. {\int \frac{xdx}{(x-1)^2(x+2)} }
    2. {\int \frac{dx}{x(x+1)(x^2+x+1)}}
    3. {\int \frac{dx}{x^3+1}}
  2. Rasti integralus:
    1. {\int_0^{200\pi}\sqrt{1-\cos 2x}dx}
    2. {\int_0^{\pi/2}\sin^nxdx}
    3. {\int_0^1x^m(\ln x)^ndx}
  3. Rasti ribas:
    1. {\lim_{\alpha\rightarrow 0}\int_{-1}^1\sqrt{x^2+\alpha^2}dx}
    2. {\lim_{\alpha\rightarrow 		0}\int_{\alpha}^{1+\alpha}\frac{dx}{1+x^2+\alpha^2}}
  4. Tegu {F(\alpha)=\int_{0}^{\pi/2}\sin^2(x+\alpha)dx}. Rasti {F'(\alpha)}.
  5. Rasti {F'(\alpha)}, jei {F(\alpha)=\int_0^1f(x+\alpha,x-\alpha)dx}. Laikykite, kad funkcija {f} yra tolydžiai diferencijuojama.
  1. Suintegruoti naudojantis kintamųjų keitimu:
    1. {\int\frac{x^5dx}{\sqrt{1-x^2}}}
    2. {\int \frac{dx}{\sqrt{1+e^x}}}
    3. {\int \sqrt{a^2-x^2}dx}
  2. Suintegruoti dalimis:
    1. {\int \arcsin^2xdx}
    2. {\int x\sin\sqrt{x}dx}
    3. {\int x^2\ln xdx}
  3. Naudojant racionaliųjų funkcijų integravimo metodus suintegruoti:
    1. {\int \frac{xdx}{(x-1)^2(x+2)} }
    2. {\int \frac{dx}{x(x+1)(x^2+x+1)}}
    3. {\int \frac{dx}{x^3+1}}
  4. Rasti integralus:
    1. {\int_0^{200\pi}\sqrt{1-\cos 2x}dx}
    2. {\int_0^{\pi/2}\sin^nxdx}
    3. {\int_0^1x^m(\ln x)^ndx}
  1. Rasti funkcijos {z(x,y)} pirmos ir antros eilės dalines išvestines, kai {z=\sqrt{x^2-y^2}\tan\frac{z}{\sqrt{x^2-y^2}}}
  2. Rasti {dz} ir {d^2z}, jei
    1. {\frac{x}{z}=\ln \frac{z}{y}+1}.
    2. {z-x=\arctan\frac{y}{z-x}}
  3. Pasinaudodami kintamųjų keitimu suintegruokite
    1. {\int \frac{dx}{1+\sin x}}
    2. {\int \frac{x^3dx}{x^8-2}}
    3. {\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}}
    4. {\int \frac{\sin x\cos xdx}{\sqrt{a^2\sin^2 x+b^2\cos^2x}}}
    5. {\int \frac{dx}{\sin x}}
  4. Pasinaudodami integravimu dalimis suintegruokite
    1. {\int x^2\arccos xdx}
    2. {\int\frac{\arcsin x}{x^2}dx}
    3. {\int \arctan\sqrt{x} dx}
    4. {\int \frac{dx}{(a^2+x^2)^2}}
    5. {\int \sqrt{a^2-x^2}dx}
  1. Rasti {y'}, {y''} ir {y'''} taške {(0,1)}, jei {x^2-xy+2y^2+x-y-1=0}.
  2. Rasti funkcijos {z=z(x,y)} apibrėžtos lygtimi {F(x,y,z)=0} dalines išvestines, kai {F(x,y,z)=z^3-3xyz=a^3}.
  3. Tegu {x=\phi(u,v)}, {y=\psi(u,v)}. Rasti atvirkštinių funkcijų {u=u(x,y)} ir {v=v(x,y)} dalines išvestines.
  4. Rasti funkcijos {f(x_1,x_2)=x_1^4+x_2^4-x_1^2-2x_1x_2-x_2^2} lokalius ekstremumus.
  5. Rasti funkcijos {f(x)=x_1^m+x_2^m+\dots+x_n^m} ekstremumus aibėje {D={x\in \mathbb{R}^n:x_1+\dots+x_n=na}}, kai {a>0} ir {m>1}.
  6. Rasti funkcijos {f(x)=x_1x_2x_3} ekstremumus aibėje {x_1^2+x_2^2+x_3^2=3}.
  7. Rasti funkcijos {f(x)=x_1^mx_2^nx_3^p} ekstremumus aibėje {x_1+x_2+x_3=a}, kai {x>0,m>0,n>0,p>0,a>0}.
  8. Rasti funkcijos {f(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2} ekstremumus aibėje {\frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2}+\frac{x_3^2}{a_3^2}=1}.

Paskelbti pirmojo pratybų patikrinimo rezultatai.

  1. Rasti {\frac{\partial f}{\partial x_1}(x,1)}, kai {f(x_1,x_2)=x_1+(x_2-1)\arcsin\frac{x_1}{x_2}}.
  2. Tegu {f(x)=\sqrt[3]{x_1x_2}}. Rasti {\frac{\partial f}{\partial 	x_1}(0,0)} ir {\frac{\partial f}{\partial x_2}(0,0)}. Ar funkcija {f} yra diferencijuojama taške {(0,0)}?
  3. Ar diferencijuojama taške {(0,0)} funkcija {e^{-\frac{1}{x_{1}^2+x_2^{2}}}}?
  4. Parodyti, kad funkcija {f(x_1,x_2)=\sqrt{|x_1x_2|}} yra tolydi taške {(0,0)}, egzistuoja dalinės išvestinės {\frac{\partial f}{\partial 	x_1}(0,0)} ir {\frac{\partial f}{\partial x_2}(0,0)}, bet funkcija nėra diferencijuojama taške {(0,0)}.
  5. Parodyti, kad funkcija {f(x)=\frac{x_1x_2}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}}}, kai {x\neq 0} bei {f(0)=0}, yra tolydi bei turi aprėžtas dalines išvestines {\frac{\partial f}{\partial x_1}} ir {\frac{\partial f}{\partial x_2}} taško {(0,0)} aplinkoje, bet taške {(0,0)} nėra diferencijuojama.
  6. Parodyti, kad funkcijos {f(x)=(x_1^2+x_2^2)\sin\frac{1}{x_1^2+x_2^2}}, kai {x\neq 0} ir {f(0,0)=0} dalinės išvestinės {\frac{\partial 	f}{\partial x_1}} ir {\frac{\partial f}{\partial x_2}} taške {(0,0)} turi trūkį, yra neaprėžtos taško {(0,0)} aplinkoje, bet funkcija {f} yra diferencijuojama taške {(0,0)}.
  7. Patikrinti lygybę {\frac{\partial u}{\partial x_1\partial 	x_2}=\frac{\partial u}{\partial x_2\partial x_1}}, kai
    1. {u(x)=x_1^{x_2^2}},
    2. {u(x)=\arccos\sqrt{\frac{x_1}{x_2}}}.
  8. Tegu {f(x)=x_1x_2\frac{x_1^2-x_2^2}{x_1^2+x_2^2}}, kai {x\neq 0} ir {f(0)=0}. Parodyti, kad {\frac{\partial f}{\partial x_1\partial 	x_2}(0,0)\neq\frac{\partial f}{\partial x_2\partial 	x_1}(0,0)}.
  9. Funkcija {f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}} yra vadinama {p}-to laipsnio homogenine, jeigu tenkina savybę {f(tx_1,\dots,tx_n)=t^pf(x_1,\dots,x_n)}. Parodyti, kad jei funkcija {f:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}} tenkina lygtį

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 \sum_{i=1}^3x_i\frac{\partial f}{\partial x_i}=pf 	\end{array}

    tai ji yra {p}-tojo laipsnio homogeninė.

  10. Parodyti, kad jei {u:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}} yra du kartus diferencijuojama {n}-tojo laipsnio homogeninė, tai

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 \left(x_1\frac{\partial}{\partial x_1}+x_2\frac{\partial}{\partial 	 x_2}+x_3\frac{\partial}{\partial x_3} \right)^2 u=n(n-1)u 	\end{array}

  11. Tegu {u(x)=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}}. Parodyti, kad {d^2u\ge 0}.
  1. Rasti {\frac{\partial f}{\partial x_1}(x,1)}, kai {f(x_1,x_2)=x_1+(x_2-1)\arcsin\frac{x_1}{x_2}}.
  2. Tegu {f(x)=\sqrt[3]{x_1x_2}}. Rasti {\frac{\partial f}{\partial 	x_1}(0,0)} ir {\frac{\partial f}{\partial x_2}(0,0)}. Ar funkcija {f} yra diferencijuojama taške {(0,0)}?
  3. Ar diferencijuojama taške {(0,0)} funkcija {e^{-\frac{1}{x_{1}^2+x_2^{2}}}}?
  4. Parodyti, kad funkcija {f(x_1,x_2)=\sqrt{|x_1x_2|}} yra tolydi taške {(0,0)}, egzistuoja dalinės išvestinės {\frac{\partial f}{\partial 	x_1}(0,0)} ir {\frac{\partial f}{\partial x_2}(0,0)}, bet funkcija nėra diferencijuojama taške {(0,0)}.
  5. Parodyti, kad funkcija {f(x)=\frac{x_1x_2}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}}}, kai {x\neq 0} bei {f(0)=0}, yra tolydi bei turi aprėžtas dalines išvestines {\frac{\partial f}{\partial x_1}} ir {\frac{\partial f}{\partial x_2}} taško {(0,0)} aplinkoje, bet taške {(0,0)} nėra diferencijuojama.
  6. Parodyti, kad funkcijos {f(x)=(x_1^2+x_2^2)\sin\frac{1}{x_1^2+x_2^2}}, kai {x\neq 0} ir {f(0,0)=0} dalinės išvestinės {\frac{\partial 	f}{\partial x_1}} ir {\frac{\partial f}{\partial x_2}} taške {(0,0)} turi trūkį, yra neaprėžtos taško {(0,0)} aplinkoje, bet funkcija {f} yra diferencijuojama taške {(0,0)}.
  7. Patikrinti lygybę {\frac{\partial u}{\partial x_1\partial 	x_2}=\frac{\partial u}{\partial x_2\partial x_1}}, kai
    1. {u(x)=x_1^{x_2^2}},
    2. {u(x)=\arccos\sqrt{\frac{x_1}{x_2}}}.
  8. Tegu {f(x)=x_1x_2\frac{x_1^2-x_2^2}{x_1^2+x_2^2}}, kai {x\neq 0} ir {f(0)=0}. Parodyti, kad {\frac{\partial f}{\partial x_1\partial 	x_2}(0,0)\neq\frac{\partial f}{\partial x_2\partial 	x_1}(0,0)}.
  1. Rasti ribą {\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^4+x_2^4}}.
  2. Rasti ribą {\lim_{x\rightarrow\infty}(x_1^2+x_2^2)e^{-x_1-x_2}}.
  3. Rasti ribą {\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{x_1x_2}{x_1^2+x_2^2}\right)^{x^2}}.
  4. Rasti ribą {\lim_{x\rightarrow0}(x_1^2+x_2^2)^{x_1^2x_2^2}}.
  5. Rasti ribą {\lim_{x\rightarrow 	(\infty,a)}\left(1+\frac{1}{x_1}\right)^{\frac{x_1^2}{x_1+x_2}}}.
  6. Rasti ribą {\lim_{x\rightarrow(1,0)}\frac{\ln(x+e^{y})}{\sqrt{x^2+y^2}}}.
  1. Tegu {f(x,y)=x^{2}e^{-(x^2-y)}}. Rasti funkcijos ribą bet kuriuo spinduliu {x=t\cos\alpha}, {y=t\sin\alpha}, kai {t\rightarrow\infty}. Ar galima šią funkciją pavadinti be galo maža, kai {x\rightarrow\infty}, {y\rightarrow\infty}? (T. y. ar {\lim_{(x,y)\rightarrow\infty}f(x,y)=0}?)
  2. Rasti ribas {\lim_{x\rightarrow a}\left(\lim_{y\rightarrow b}f(x,y)\right)} ir {\lim_{y\rightarrow b}\left(\lim_{x\rightarrow a}f(x,y)\right)}, kai
    1. {f(x,y)=\frac{x^2+y^2}{x^2+y^4}}, {a=\infty}, {b=\infty}
    2. {f(x,y)=\frac{x^y}{1+x^y}}, {a=\infty}, {b=+0}.
    3. {f(x,y)=\sin\frac{\pi x}{2x+y}}, {a=\infty}, {b=\infty}.
  3. Rasti ribą {\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x_1+x_2}{x_1^2-x_1x_2+x_2^2}}.
  4. Rasti ribą {\lim_{x\rightarrow(0,a)}\frac{\sin x_1x_2}{x_1}}.
  1. Pavaizduoti aibę {\{x\in \mathbb{R}^2:x=g(t),t\in \mathbb{R}\}}. Čia {g(t)=1/4((t+1)^2,(t-1)^2)}, {t\in \mathbb{R}}
  2. Pavaizduoti aibę {\Gamma=\{x\in\mathbb{R}^2: F(x)=0\}}, kai
    1. {F(x)=x_1^3+x_2^3-3ax_1x_2}, {a\in \mathbb{R}_+}. (Dekarto lapas)
    2. {F(x)=\|x\|^4-a^2(x_1^2-x_2^2)}. (Bernulio lemniskatė)
    3. {F(x)=x_1^{2/3}+x_2^{2/3}-a^{2/3}}, {a\in \mathbb{R}_+}. (astroidė)
    4. {F(x)=\|x\|-e^{Arg x}} (Logaritminė spiralė), čia {Arg x=\{t\in \mathbb{R}: \cos t=\frac{x_1}{\|x\|}\}}
  3. Nubrėžkite grafikus funkcijų {g:I\rightarrow \mathbb{R}}, čia {I\subset 	\mathbb{R}}, apibrėžtų polinėje koordinačių sistemoje: {\|x\|=g(t)}, čia {t=Argx}, kai
    1. {g(t)=a+b\cos t}, {a\le b}, (kardioidė).
    2. {g(t)=a\sin 3t}, {a\in \mathbb{R}_+}, (trilapė rožė)
    3. {g(t)=\frac{a}{\sqrt{\cos 3t}}}.
  4. Turime cilindrinių koordinačių sistemą {(x,y,z)=(r\cos\theta,r\sin\theta,z)}. Pavaizduoti aibes:
    1. {\theta=\pi/2}
    2. {z=0}
    3. {z=r}
    4. {z^2+r^2=1}
    5. {z=\frac{1}{r}}
    6. {z^2-r^2=1}
  5. Turime sferinių koordinačių sistemą {(x,y,z)=(\rho\sin\phi\cos\theta,\rho\sin\phi\sin\theta,\rho\cos\phi)}. Pavaizduoti aibes:
    1. {\phi=\pi/2}.
    2. {\rho\sin\phi=2}.
    3. {\rho=\sin\phi}.
    4. {\rho=\cos\theta}.

Naujausi komentarai

vzemlys apie Rožiniai akiniai
Audrius apie Rožiniai akiniai
Karl apie Time series data aggregation u…
Vytautas Astrauskas apie Matematinio teksto rinkimo tur…
Auksinis kardas apie Drawing national flags on maps…
2020 m. gegužės mėn.
Pr A T K Pn Š S
 123
45678910
11121314151617
18192021222324
25262728293031