You are currently browsing the tag archive for the ‘euklidinė erdvė’ tag.

  1. Rinkinys {\{(\frac{1}{n},n\in \mathbb{N})\}} yra intervalo {(0,1)} atvirasis denginys. Ar šis denginys turi baigtinį podenginį?
  2. Sukonstruoti tokį skaitų rinkinį kompaktinių aibių, kurių sąjunga nėra kompaktinė aibė.
  3. Tegul {K} yra euklidinės erdvės kompaktinė aibė. Tada egzistuoja tokie vektoriai {u\in K} ir {v\in K}, kad

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 \|{u}\|_2\le \|{x}\|_2\le\|{v}\|_2,\text{ visiems } x\in K 	\end{array}

  4. Tegul {K} yra euklidinės erdvės kompaktinė aibė ir {y\notin K}. Įrodyti, kad egzistuoja toks elementas {u\in K}, kad

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 \|{u-y}\|_2\le \|{x-y}\|_2, \text{ visiems } x\in K, 	\end{array}

    t.y. egzistuoja artimiausias {y}-ui aibės {K} elementas.

  5. Tegul {f:\mathbb{R}^p\rightarrow \mathbb{R}^q}, {x_0\in\mathbb{R}^p} ir {c\in \mathbb{R}^q}. Įrodyti, kad {f(x)\rightarrow c}, kai {x\rightarrow x_0} tada ir tik tada, kai {\|f(x)-c\|_{2}\rightarrow 0}, kai {x\rightarrow x_0}.
  6. Įrodyti, kad funkcijos
    1. {(x,y)\rightarrow x+y}{\mathbb{R}^d\times \mathbb{R}^d} į {\mathbb{R}^d}
    2. {(\lambda,x)\rightarrow \lambda x}{\mathbb{R}\times \mathbb{R}^d} į {\mathbb{R}^d}
    3. {(x,y)\rightarrow x\cdot y}{\mathbb{R}^d\times \mathbb{R}^d} {\mathbb{R}}

    yra tolydžios.

  7. Tegu {f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}} ir

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 f(x_1,x_2)=\frac{x_1^2x_2^2}{x_1^2x_2^2+(x_1-x_2)^2}. 	\end{array}

    Parodyti, kad

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	\lim_{x_1\rightarrow0}\left(\lim_{x_2\rightarrow0}f(x_1,x_2)\right) 	=\lim_{x_2\rightarrow0}\left(\lim_{x_1\rightarrow0}f(x_1,x_2)\right)=0 \end{array}

    bet {\lim_{x\rightarrow0}f(x)} neegzistuoja.

  8. Tegu {f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}} ir

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 f(x_1,x_2)=(x_1+x_2)\sin\frac{1}{x_1}\sin\frac{1}{x_2}. 	\end{array}

    Parodyti, kad { 	\lim_{x_1\rightarrow0}\left(\lim_{x_2\rightarrow0}f(x_1,x_2)\right)} ir {\lim_{x_2\rightarrow0}\left(\lim_{x_1\rightarrow0}f(x_1,x_2)\right)} neegzistuoja, bet {\lim_{x\rightarrow 0}f(x)} egzistuoja.

  1. {\mathbb{R}^3} erdvės vektoriams {x=(3,0,-1)} ir {y=(1,2,3)} rasti:
    1. vektorių {3x-y};
    2. skaliarinę sandaugą {x\cdot y};
    3. euklidinius ilgius {\|x\|_2} ir {\|y\|_2};
    4. euklidinį atstumą {\rho_2(x,y)}.
  2. Tegul {a,b,c\in \mathbb{R}} ir bet kuriems {x=(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2}, {y=(y_1,y_2)\in \mathbb{R}^2} tegul

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  		q(x,y)=ax_1y_1+bx_1y_2+bx_2y_1+cx_2y_2. 	 \end{array}

    Su kokiais {a,b,c\in\mathbb{R}} funkcijai {q(\cdot,\cdot):\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}} galioja savybės:

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  		&q(x,x)>0, \text{ jei } x\neq 0,\\ 		&q(x,y)=q(y,x),\\ 		&q(x,\lambda y+\mu z)=\lambda q(x,y) + \mu q(x,z). 	 \end{array}

  3. Tegu {x,y\in \mathbb{R}^d} ir {\|\cdot\|} yra norma erdvėje {\mathbb{R}^d}. Įrodyti, kad

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  		|\|x\|-\|y\||\le \|x-y\| 	 \end{array}

  4. Pavaizduoti erdvės {\mathbb{R}^d} aibes {\{\|x\|_2=1,x\in\mathbb{R}^2\}}, {\{\|x\|_1=1,x\in\mathbb{R}^2\}}, {\{\|x\|_{\max}=1,x\in\mathbb{R}^2\}}
  5. Kiekvienam {n\in\mathbb{N}} tegul

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 x_n:=\left(\frac{n}{1+n},\frac{1-n}{n}\right)\in \mathbb{R}^2 	\end{array}

    Naudojant tik sekos konvergavimo apibrėžimą, įrodyti, kad vektorių seka {(x_n)} konverguoja į vektorių {(1,-1)}, kai {n\rightarrow\infty}.

  6. Su kiekvienu {n\in \mathbb{N}}, tegul {x_n:=(e^{-n}\sin n, 	e^{-n}\cos n)\in \mathbb{R}^2}. Ar vektorių seka {(x_n)} turi ribą? Atsakymą pagrįsti.
  7. Tarkime, kad vektorių seka {(x_n)} konverguoja į vektorių {y}. Įrodyti, kad bet kuris jos posekis {(x_{n_k})} taip pat konverguoja į vektorių {y}.
  8. Parodyti, kad jei {\|x_n-x\|_{\max}\rightarrow 0}, tai {\|x_n\|_{\max}\rightarrow\|x\|_{\max}}.

Namų darbai.

  1. Įrodyti, kad bet kuriems {x,y,z\in \mathbb{R}^d} ir {\lambda,\mu\in \mathbb{R}},

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  		&x\cdot x>0, \text{ jei } x\neq 0,\\ 		&x\cdot y = y\cdot x,\\ 		&x\cdot(\lambda y +\mu z)= \lambda(x\cdot y) +\mu (x\cdot z). 	 \end{array}

  2. Įrodyti, kad funkcijoms {\|\cdot\|_1} ir {\|\cdot\|_{\max}} galioja savybės:
    1. kiekvienam {x\in \mathbb{R}^d}, {\|x\|\ge 0};
    2. kiekvienam {x\in \mathbb{R}^d}, {\|x\|=0} tada ir tik tada, kai {x=0};
    3. visiems {x\in \mathbb{R}^d} ir {\lambda\in \mathbb{R}}, {\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|};
    4. visiems {x,y\in\mathbb{R}^d}, {\|x+y\|\le \|x\|+\|y\|}.
  3. Tegu

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 x_n=\left(\frac{n+1}{n},\frac{(-1)^n}{n}\right) 	\end{array}

    Rasti (pateikti įrodymus)

    1. {\lim x_n};
    2. {\lim \|x_n\|_2};
    3. {\lim \|x_n\|_1};
    4. {\lim \|x_n\|_{\max}}.
  4. Tarkime, kad {\mathbb{R}^d} erdvės elementų seka {(x_n)} konverguoja į nulį, kai {n\rightarrow\infty} ir {\mathbb{R}^d} erdvės elementų seka {(y_n)} yra aprėžta. Įrodyti, kad {x_n\cdot y_n\rightarrow 0}, kai {n\rightarrow\infty}.
  1. Tegu {A} yra euklidinės erdvės aibė ir {x} yra jos uždarinio {\bar{A}} elementas. Įrodyti, kad egzistuoja iš aibės {A} elementų sudaryta seka {(x_n)}, kuri konverguoja į {x}.
  2. Tegul {A} yra euklidinės erdvės {\mathbb{R}^n} atviroji aibė ir {B} yra euklidinės erdvės {\mathbb{R}^m} atviroji aibė. Įrodyti, kad jų Descarteso sandauga {A\times B} yra euklidinės erdvės {\mathbb{R}^{n+m}} atviroji aibė.
  3. Kuris iš toliau formuluojamų keturių teiginių yra teisingas ir kuris neteisingas:
    1. jei aibė {F\subset \mathbb{R}^{d+1}} yra uždara, tai aibė {\{x\in \mathbb{R}^d: (0,x)\in F\}} yra uždara erdvėje {\mathbb{R}^d}.
    2. jei aibė {G\subset \mathbb{R}^{d+1}} yra atvira, tai aibė {\{x\in \mathbb{R}^d: (0,x)\in G\}} yra atvira erdvėje {\mathbb{R}^d}.
    3. jei aibė {F\subset \mathbb{R}^{d}} yra uždara, tai aibė {\{(0,x)\in \mathbb{R}^{d+1}: x\in F\}} yra uždara erdvėje {\mathbb{R}^{d+1}}.
    4. jei aibė {G\subset \mathbb{R}^{d}} yra atvira, tai aibė {\{(0,x)x\in \mathbb{R}^{d+1}: x\in G\}} yra atvira erdvėje {\mathbb{R}^{d+1}}.
  4. Tegul {A} yra euklidinės erdvės aibė. Aibė {\partial 	A=\bar{A}\backslash A^{\circ}} vadinama aibės siena. Įrodyti, kad {x\in \partial A} tada ir tik tada, kai su kiekvienu {\varepsilon>0}, {\varepsilon}-aplinkoje {O_{\varepsilon}(x)} yra ir aibės {A} elementų ir aibės {\mathbb{R}^d\backslash A} elementų.
  5. Rasti racionaliųjų skaičių aibės {\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}} sieną {\partial \mathbb{Q}}.
  6. Tegul {A} ir {B} yra euklidinės erdvės kompaktinės aibės. Įrodyti, kad aibės {A\cap B} yra {A\cup B} yra kompaktinės.

Naujausi komentarai

vzemlys apie Rožiniai akiniai
Audrius apie Rožiniai akiniai
Karl apie Time series data aggregation u…
Vytautas Astrauskas apie Matematinio teksto rinkimo tur…
Auksinis kardas apie Drawing national flags on maps…
2020 m. gegužės mėn.
Pr A T K Pn Š S
 123
45678910
11121314151617
18192021222324
25262728293031