realieji skaičiai | Eat a better pie

Suformuluoti ką reiškia, kad racionaliųjų skaičių seka ${(q_n)}$ nėra Cauchy seka. , t. y. loginiais kvantoriais išreikšti teiginį „ ${(q_n)}$ nėra Cauchy seka“.
Įrodyti: jei Cauchy sekos ${(r_n)}$ ir ${(s_n)}$ yra atskirtos nuo nulio ir ${(r_n)\simeq_{R} (s_n)}$ , tai ${(r_n^{-1})\simeq_R (s_n^{-1})}$ .
Įrodyti, kad jei ${t}$ ir ${s}$ yra teigiami realieji skaičiai ir jei ${t>s}$ , tai ${t^{-1}<s^{-1}}$ .
Įrodyti, kad su kiekvienu teigiamu realiuoju skaičiumi ${t}$ egzistuoja toks natūralusis skaičius ${N}$ , kad ${t>1/N>0}$ .
Įrodyti, kad bet kuri realiųjų skaičių aibė gali turėti ne daugiau kaip vieną mažiausią viršutinį rėžį.
Tegul ${M}$ yra realiųjų skaičių aibės ${A}$ mažiausias viršutinis rėžis. Įrodyti, kad kiekvienam ${\epsilon>0}$ egzistuoja toks ${x\in A}$ , kad ${x>M-\epsilon}$ .
Tegul ${A}$ yra realiųjų skaičių aibė, o ${-A:=\{-x: x\in A\}}$ . Įrodyti: jei ${M}$ yra aibės ${-A}$ mažiausias viršutinis rėžis, tai ${-M}$ yra aibės ${A}$ didžiausias apatinis rėžis.
Tegul ${r}$ yra realusis skaičius. Įrodyti, kad ${|r|=(r^2)^{1/2}}$ .

Namų darbai:

Tarkime, kad ${x}$ yra realusis skaičius ir ${(a_n)}$ yra racionaliųjų skaičių Cauchy seka. Įrodyti: jei ${x\le a_n}$ su kiekvienu ${n\in \mathbb{N}}$ , tai ${x\le LIM(a_n)}$ . Taip pat įrodyti, kad ${x\ge LIM(a_n)}$ , jei ${x\ge a_n}$ su kiekvienu ${n\in \mathbb{N}}$ . Nuoroda: jei taip nėra, tai galima rasti racionalųjį skaičių tarp dviejų realiųjų.
Tegul ${D}$ yra realiųjų skaičių aibės ${A}$ didžiausias apatinis rėžis. Įrodyti, kad kiekvienam ${\epsilon>0}$ egzistuoja toks ${x\in A}$ , kad ${x<D+\epsilon}$ .
Tegu ${A}$ ir ${B}$ yra netuščios ir aprėžtos realiųjų skaičių aibės. Tegul ${C:=\{x+y: x\in A, y\in B\}}$ . Įrodyti, kad ${\sup C=\sup A+\sup B}$

Pastaba: Ištaisyta klaida antrame namų darbų uždavinyje.

	vzemlys apie Rožiniai akiniai
	Audrius apie Rožiniai akiniai
	Karl apie Time series data aggregation u…
	Vytautas Astrauskas apie Matematinio teksto rinkimo tur…
	Auksinis kardas apie Drawing national flags on maps…

Tag Archive