You are currently browsing the tag archive for the ‘vektorinė funkcija’ tag.

  1. Rinkinys {\{(\frac{1}{n},n\in \mathbb{N})\}} yra intervalo {(0,1)} atvirasis denginys. Ar šis denginys turi baigtinį podenginį?
  2. Sukonstruoti tokį skaitų rinkinį kompaktinių aibių, kurių sąjunga nėra kompaktinė aibė.
  3. Tegul {K} yra euklidinės erdvės kompaktinė aibė. Tada egzistuoja tokie vektoriai {u\in K} ir {v\in K}, kad

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 \|{u}\|_2\le \|{x}\|_2\le\|{v}\|_2,\text{ visiems } x\in K 	\end{array}

  4. Tegul {K} yra euklidinės erdvės kompaktinė aibė ir {y\notin K}. Įrodyti, kad egzistuoja toks elementas {u\in K}, kad

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 \|{u-y}\|_2\le \|{x-y}\|_2, \text{ visiems } x\in K, 	\end{array}

    t.y. egzistuoja artimiausias {y}-ui aibės {K} elementas.

  5. Tegul {f:\mathbb{R}^p\rightarrow \mathbb{R}^q}, {x_0\in\mathbb{R}^p} ir {c\in \mathbb{R}^q}. Įrodyti, kad {f(x)\rightarrow c}, kai {x\rightarrow x_0} tada ir tik tada, kai {\|f(x)-c\|_{2}\rightarrow 0}, kai {x\rightarrow x_0}.
  6. Įrodyti, kad funkcijos
    1. {(x,y)\rightarrow x+y}{\mathbb{R}^d\times \mathbb{R}^d} į {\mathbb{R}^d}
    2. {(\lambda,x)\rightarrow \lambda x}{\mathbb{R}\times \mathbb{R}^d} į {\mathbb{R}^d}
    3. {(x,y)\rightarrow x\cdot y}{\mathbb{R}^d\times \mathbb{R}^d} {\mathbb{R}}

    yra tolydžios.

  7. Tegu {f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}} ir

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 f(x_1,x_2)=\frac{x_1^2x_2^2}{x_1^2x_2^2+(x_1-x_2)^2}. 	\end{array}

    Parodyti, kad

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	\lim_{x_1\rightarrow0}\left(\lim_{x_2\rightarrow0}f(x_1,x_2)\right) 	=\lim_{x_2\rightarrow0}\left(\lim_{x_1\rightarrow0}f(x_1,x_2)\right)=0 \end{array}

    bet {\lim_{x\rightarrow0}f(x)} neegzistuoja.

  8. Tegu {f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}} ir

    \displaystyle  \begin{array}{rcl}  	 f(x_1,x_2)=(x_1+x_2)\sin\frac{1}{x_1}\sin\frac{1}{x_2}. 	\end{array}

    Parodyti, kad { 	\lim_{x_1\rightarrow0}\left(\lim_{x_2\rightarrow0}f(x_1,x_2)\right)} ir {\lim_{x_2\rightarrow0}\left(\lim_{x_1\rightarrow0}f(x_1,x_2)\right)} neegzistuoja, bet {\lim_{x\rightarrow 0}f(x)} egzistuoja.

  1. Tegu {f\in L(\mathbb{R}^p,\mathbb{R}^q)} parodyti, kad {D^2f(u)=0}, kiekvienam {u\in\mathbb{R}^p}.
  2. Tegu {f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2} yra funkcija su reikšmėmis

    \displaystyle  f(r,\phi)=r(\cos\phi,\sin\phi)

    Parodyti, kad {f} yra du kartus diferencijuojama ir rasti {D^2f(u)} bei {d^2f(u)(r,\phi)}.

  3. Tegul {f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}} yra funkcija su reikšmėmis

    \displaystyle  f(x)=16x_1^2-24x_1x_2+9x_2^2-30x_1-40x_2, \text{ visiems } x=(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2

    Rasti šios funkcijos ekstremumo taškus ir nustatyti jų tipą.

  4. Tegul {f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}} yra funkcija su reikšmėmis

    \displaystyle  f(x)=2x_2^2-x_1(x_1-1)^2, \text{ visiems } x=(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2

    Įrodyti, kad ši funkcija turi lokalųjį minimumą taške {(1/3,0)} ir balno tašką {(1,0)}.

  5. (Tiesinė regresija) Tarkime, kad vektoriai {(x_i,y_i)\in \mathbb{R}^2}, {i=1,\dots,n}, intepretuojami kaip realių duomenų reikšmės geometrinėje plokštumoje. Šių duomenų regresijos tiese vadinama tokia geometrinės plokštumos tiesė, kad vertikalių atstumų tarp duomenų ir tiesės kvadratų suma įgyja mažiausią reikšmę. Tegul {x_1,\dots,x_n} nėra visi tarpusavyje lygūs. Įrodyti, kad šios tiesės lygtis {y=c+\lambda x} turi tokią išraišką:

    \displaystyle  \lambda=\frac{\overline{xy}-\overline{x}\overline{y}}{\overline{x^2}-\overline{x}^2} \text{ ir } c=\overline{y}-\lambda \overline{x}= \frac{\overline{x^2}\overline{y}-\overline{x}\; \overline{xy}}{\overline{x^2}-\overline{x}^2},

    čia naudojami žymėjimai

    \displaystyle  \overline{x}:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i,\: \overline{y}:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^ny_i, \: \overline{x^2}:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2,\: \overline{xy}:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_iy_i,

  6. Tegu {f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}} yra funkcija su reikšmėmis

    \displaystyle  f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}\right)

    Tegu {x_1,\dots,x_n} yra skaičiai. Apibrėžkime funkciją {L:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}} taip:

    \displaystyle  L(a,\sigma^2)=\prod_{i=1}^nf(x_i)

    Įrodyti, kad šios funkcijos ekstremumo taškas yra

    \displaystyle  (\widehat{a},\widehat{\sigma^2})=\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i, \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2,\right)

    Parodyti, kad tai funkcija {L} šiame taške įgyja maksimumą. Nuoroda.Pasinaudoti tuo, kad {L} ir {\log L} įygja maksimumą tame pačiame taške.

  1. Tarkime, kad {g:\mathbb{R}^p\rightarrow\mathbb{R}^q} ir {h:\mathbb{R}^p\rightarrow\mathbb{R}^d}. Įrodyti: jei {h(x)\rightarrow 0}, kai {x\rightarrow 0}, ir {g=o(h)}, kai x\to 0 , tai {g(x)\rightarrow 0}, kai {x\rightarrow 0}.
  2. Tegul {f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2}

    \displaystyle  f(x):=(x_1x_2-2x_1+x_2+5,x_1^2+x_2^2+x_1-3x_2+4)

    kiekvienam {x\in\mathbb{R}^2}. Naudojantis tik apibrėžimu rasti šios funkcijos išvestinę ir Jacobio matricą.

  3. Tegul funkcija {f:\mathbb{R}^p\rightarrow\mathbb{R}^q} yra tiesinė. Įrodyti, kad {f} yra diferencijuojama, o jos išvestinė funkcija yra pastovioji funkcija {Df=f}, t.y. funkcija su reikšmėmis {Df(x)=f} kiekvienam {x\in \mathbb{R}^p}.
  4. Tarkime, kad funkcija {f:\mathbb{R}^p\rightarrow\mathbb{R}^q} yra tolydi taške {u\in \mathbb{R}^p} ir egzistuoja tokia afininė funkcija {T:\mathbb{R}^p\rightarrow \mathbb{R}^q}, kad {f(u+x)-T(u+x)=o(x)}, kai {x\rightarrow 0}. Įrodyti, kad {f} yra diferencijuojama taške {u} ir kiekvienam {x\in \mathbb{R}^p}

    \displaystyle  Df(u)(x)=T(u+x)-T(u)=T(x)-T(0)

  5. Tarkime, kad {U\subset \mathbb{R}^p} yra atvira aibė, o funkcija {f:U\rightarrow \mathbb{R}^q} yra diferencijuojama taške {u\in U}. Įrodyti, kad {f} yra tolydi taške {u}.
  6. Tarkime, kad funkcija {f:\mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{R}} yra diferencijuojama taške {u\in \mathbb{R}^d}. Tegul {x\in\mathbb{R}^d} ir {g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} yra funkcija su reikšmėmis {g(t):=f(u+tx)} kiekvienam {t\in \mathbb{R}}. Įrodyti, kad {g} yra diferencijuojama taške 0 ir rasti {g'(0)}.
  1. Tarkime, kad funkcijų sekos {(f_n)} ir {(g_n)} aibėje {X} tolygiai konverguoja. Įrodyti, kad aibėje {X} tolygiai konverguoja funkcijų seka {(f_n+g_n)}.
  2. Tarkime, kad aibėje {X\subset \mathbb{R}^p} apibrėžta ir reikšmes įgyjanti euklidinėje erdvėje funkcijų seka {(f_n)} tolygiai konverguoja į funkciją {f:X\rightarrow \mathbb{R}^q}, o funkcija {F:\mathbb{R}^q\rightarrow \mathbb{R}^d} yra tolydi. Įrodyti, kad funkcijų seka {(F\circ f_n)} tolygiai konverguoja į funkciją {F\circ f}.
  3. Tegu {f:\mathbb{R}^p\rightarrow \mathbb{R}^q} ir {f_u:=f(x-u)}, {u\in \mathbb{R}^p}. Įrodyti
    1. {f} yra tolydi tada ir tik tada, kai su bet kuria, į nulį konverguojančia {\mathbb{R}^p} elementų seka {(u_n)}, funkcijų seka {(f_{u_n})} paprastai konverguoja į {f};
    2. {f} yra tolygiai tolydi tada ir tik tada, kai su bet kuria į nulį konverguojančia {\mathbb{R}^p} elementų seka {(u_n)}, funkcijų seka {(f_{u_n})} tolygiai konverguoja į {f}.
  4. Ar funkcijų eilutė {\sum_{j=0}^{\infty}x_1^jx_2^j}, {(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2}, aibėje

    \displaystyle  \{(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2: -1<x_1<1, -1<x_2<1\}

    tolygiai konverguoja? Atsakymą pagrįsti.

  5. Ar funkcijų eilutė {\sum_{j=0}^{\infty}x_1^jx_2^j}, {(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2}, aibėje

    \displaystyle  \{(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2: x_1^2+x_2^2=1\}

    tolygiai konverguoja? Atsakymą pagrįsti.

  6. Ar funkcijų eilutė {\sum_{j=0}^{\infty}(x^j,(1-x)^j)}, {x\in \mathbb{R}}, intervale {[0,1]} paprastai konverguoja? Kokioje aibėje ši eilutė konverguoja tolygiai? Atsakymą pagrįsti.
  1. Su kiekvienu {n\in \mathbb{N}} ir {x=(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2}, tegul

    \displaystyle  f_n(x):=x_1^nx_2^n

    Kokioje aibėje šiomis reikšmėmis apibrėžta funkcijų seka {(f_n)} paprastai konverguoja ir kokioje aibėje ši seka tolygiai konverguoja? Atsakymą pagrįsti.

  2. Su kiekvienu {n\in \mathbb{N}} ir {x\in \mathbb{R}} tegul

    \displaystyle  f_n(x):=\left(\frac{1}{1+nx},\frac{x}{n}\right).

    Įrodyti, kad šiomis reikšmėmis apibrėžta funkcijų seka {(f_n)} intervale {[0,1]} tolygiai nekonverguoja.

  3. Su kiekvienu {n\in \mathbb{N}} ir {x\in \mathbb{R}} tegul

    \displaystyle  f_n(x):=\left(\frac{x}{1+nx},\frac{x}{n}\right).

    Įrodyti, kad šiomis reikšmėmis apibrėžta funkcijų seka {(f_n)} intervale {[0,1]} tolygiai konverguoja.

  4. Su kiekvienu {n\in \mathbb{N}} ir {x=(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2}, tegul

    \displaystyle  	 f_n(x)=\left(\frac{\sin nx_1}{n},\frac{\cos nx_2}{n}\right).

    Ar šiomis reikšmėmis apibrėžta funkcijų seka {(f_n)} aibėje {\mathbb{R}^2} konverguoja paprastai? Ar ji aibėje {\mathbb{R}^2} konverguoja tolygiai? Atsakymą pagrįsti.

  5. Su kiekvienu {n\in \mathbb{N}} ir {x=(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2}, tegul

    \displaystyle  	 f_n(x)=\left(\sin (x_1/n),\cos (x_2/n)\right).

    Ar šiomis reikšmėmis apibrėžta funkcijų seka {(f_n)} aibėje {\mathbb{R}^2} konverguoja paprastai? Ar ji aibėje {\mathbb{R}^2} konverguoja tolygiai? Atsakymą pagrįsti.

  6. Tarkime, kad {X\subset \mathbb{R}^p} ir {(f_n)} yra funkcijų seka apibrėžta aibėje {X} ir reikšmes įgyjanti euklidinėje erdvėje {\mathbb{R}^q}. Įrodyti, kad {(f_n)} tolygiai nekonverguoja į 0 tada ir tik tada, kai egzistuoja tokia {X} aibės elementų seka {(x_n)}, kad vektorių seka {f_n(x_n)} nekonverguoja į 0.

Naujausi komentarai

vzemlys apie Rožiniai akiniai
Audrius apie Rožiniai akiniai
Karl apie Time series data aggregation u…
Vytautas Astrauskas apie Matematinio teksto rinkimo tur…
Auksinis kardas apie Drawing national flags on maps…
2020 m. gegužės mėn.
Pr A T K Pn Š S
 123
45678910
11121314151617
18192021222324
25262728293031