Vektorių sekos riba | Eat a better pie

Tegu ${a,b\in \mathbb{R}^d}$ ir ${a\le b}$ . Ar aibė ${(a,b]=\{x\in \mathbb{R}^d: a_i<x_i\le b_i\}}$ yra atvira ar uždara? Atsakymą pagrįsti.
Sprendimas. Jei ${\exists i: a_i=b_i}$ , aibė ${(a,b]}$ yra tuščia, taigi ir uždara ir atvira. Tarkime $a< b$ . Imkime taškų seką ${x_n=a+(1/n,\dots,1/n)}$ . Visiems ${n>\max(1/(a_i-b_i))+1}$ sekos elementai priklauso aibei ${(a,b]}$ . Seka ${x_n\rightarrow a}$ , taigi ${a}$ yra ribinis aibės ${(a,b]}$ taškas, kuris jai nepriklauso. Taigi aibė nėra uždara. Tegu ${\epsilon>0}$ , tada taškas ${x=(b_1+\epsilon/2,b_2,\dots,b_d)}$ priklauso aplinkai ${O_\epsilon(b)}$ bet nepriklauso ${(a,b]}$ ir taip yra kiekvienam ${\epsilon>0}$ . Taigi taškas ${b}$ nėra vidinis, bet priklauso aibei ${(a,b]}$ , taigi aibė nėra atvira.
Tegu ${A=\{x\in \mathbb{R}^3: 0\le x_1\le 2, x_2^2+x_3^2=1\}}$ . Parodyti, kad seka
$\displaystyle x_n=\left(\frac{2n-1}{n}, \cos\left(\frac{2\pi n-2\pi}{n}\right), \sin\left(\frac{2\pi n-2\pi}{n}\right) \right), n=1,2,\dots$

priklauso aibei ${A}$ ir rasti jos ribą.

Sprendimas. Turime ${0\le x_{n1}\le 2}$ , bei ${x_{n2}^2+x_{n3}^2=\cos^2\alpha_n+\sin^2\alpha_n=1}$ , čia ${\alpha_n=(2\pi n-2\pi)/n}$ . Taigi seka ${(x_n)}$ priklauso aibei ${A}$ . Turime, kad ${(2n-1)/n\rightarrow 2}$ ir ${\alpha_n\rightarrow 2\pi}$ , taigi ${x_n\rightarrow(2,\cos 2\pi,\sin 2\pi)=(2,1,0)}$ .

Pastabos: Čia išspręsti pirmos grupės uždaviniai, antros grupės uždaviniai sprendžiasi analogiškai.

	vzemlys apie Rožiniai akiniai
	Audrius apie Rožiniai akiniai
	Karl apie Time series data aggregation u…
	Vytautas Astrauskas apie Matematinio teksto rinkimo tur…
	Auksinis kardas apie Drawing national flags on maps…

Tag Archive