matricinė išraiška | Eat a better pie

Tegu ${f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^3}$ ir ${f(x)=(3x_1+x_2,4x_2,x_1)}$ . Rasti tiesinės funkcijos ${f}$ matricinę formą.
Sprendimas. Bet kuriai tiesinei funkcijai ${g:\mathbb{R}^p\rightarrow\mathbb{R}^q}$ , turime ${[g]=(a_{jh})}$ , ${j=1,\dots,q}$ , ${h=1,\dots,p}$ . Čia ${a_{jh}=g_j(e_h)}$ , o ${g(x)=(g_1(x),\dots,g_q(x))}$ . Mūsų atveju turime ${p=2}$ , ${q=3}$ . Taigi ${[f]}$ bus ${3\times 2}$ matrica. Taip pat ${f_1(x)=3x_1+x_2}$ , ${f_2(x)=4x_2}$ , ${f_3(x)=x_1}$ . Taigi

$\displaystyle [f]=\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 4\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$
Tegu ${f:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^2}$ ir ${f(x)=(x_1-x_2+x_3,x_2)}$ . Rasti tiesinės funkcijos ${f}$ matricinę formą. Sprendimas. Bet kuriai tiesinei funkcijai ${g:\mathbb{R}^p\rightarrow\mathbb{R}^q}$ , turime ${[g]=(a_{jh})}$ , ${j=1,\dots,q}$ , ${h=1,\dots,p}$ . Čia ${a_{jh}=g_j(e_h)}$ , o ${g(x)=(g_1(x),\dots,g_q(x))}$ . Mūsų atveju turime ${p=3}$ , ${q=2}$ . Taigi ${[f]}$ bus ${2\times 3}$ matrica. Taip pat ${f_1(x)=x_1-x_2+x_3}$ , ${f_2(x)=x_2}$ . Taigi
$\displaystyle [f]=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
Tegu ${f:\mathbb{R}^d\rightarrow \mathbb{R}}$ ir ${f(x)=a^{\|x\|_2}}$ , ${a>1}$ Parodyti, kad ${f}$ iškila funkcija.
Sprendimas. Naudosimės faktu, kad jei ${g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}}$ yra nemažėjanti ir iškila, o ${h:\mathbb{R}^d\rightarrow\mathbb{R}}$ yra iškila, tai funkcija ${g\circ h}$ irgi yra iškila. Tegu ${h(x)=\|x\|_2}$ . Visiems ${\lambda\in(0,1)}$ turime

$\displaystyle h(\lambda x+(1-\lambda)y) =\|\lambda x+(1-\lambda)y\|_2\\ \le \|\lambda x\|_2+\|(1-\lambda)y\|_2=\lambda h(x) + (1-\lambda)h(y),$

čia pasinaudojome trikampio nelygybe bei euklidinės normos savybėmis. Taigi ${f}$ yra iškila funkcija.

Tegu ${g(x)=a^x}$ , ${a>1}$ . Turime, kad ${g(x)}$ yra didėjanti funkcija visiems ${x\in \mathbb{R}}$ . Be to ${g''(x)=(\ln a)^2a^x\ge 0}$ visiems ${x\in \mathbb{R}}$ . Taigi ${g}$ iškila. Kadangi ${f=g\circ h}$ , tai turime, kad ir ${f}$ iškila.

	vzemlys apie Rožiniai akiniai
	Audrius apie Rožiniai akiniai
	Karl apie Time series data aggregation u…
	Vytautas Astrauskas apie Matematinio teksto rinkimo tur…
	Auksinis kardas apie Drawing national flags on maps…

Pr	A	T	K	Pn	Š	S
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

Tag Archive

Teorijos pratybų patikrinimo II sprendimai

Categories

Alma Mater

Matematikų blogai

Naudingi

Įvykiai

Naujausi komentarai