1. Tegu {f\in L(\mathbb{R}^p,\mathbb{R}^q)} parodyti, kad {D^2f(u)=0}, kiekvienam {u\in\mathbb{R}^p}.
  2. Tegu {f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2} yra funkcija su reikšmėmis

    \displaystyle f(r,\phi)=r(\cos\phi,\sin\phi)

    Parodyti, kad {f} yra du kartus diferencijuojama ir rasti {D^2f(u)} bei {d^2f(u)(r,\phi)}.

  3. Tegul {f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}} yra funkcija su reikšmėmis

    \displaystyle f(x)=16x_1^2-24x_1x_2+9x_2^2-30x_1-40x_2, \text{ visiems } x=(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2

    Rasti šios funkcijos ekstremumo taškus ir nustatyti jų tipą.

  4. Tegul {f:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}} yra funkcija su reikšmėmis

    \displaystyle f(x)=2x_2^2-x_1(x_1-1)^2, \text{ visiems } x=(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2

    Įrodyti, kad ši funkcija turi lokalųjį minimumą taške {(1/3,0)} ir balno tašką {(1,0)}.

  5. (Tiesinė regresija) Tarkime, kad vektoriai {(x_i,y_i)\in \mathbb{R}^2}, {i=1,\dots,n}, intepretuojami kaip realių duomenų reikšmės geometrinėje plokštumoje. Šių duomenų regresijos tiese vadinama tokia geometrinės plokštumos tiesė, kad vertikalių atstumų tarp duomenų ir tiesės kvadratų suma įgyja mažiausią reikšmę. Tegul {x_1,\dots,x_n} nėra visi tarpusavyje lygūs. Įrodyti, kad šios tiesės lygtis {y=c+\lambda x} turi tokią išraišką:

    \displaystyle \lambda=\frac{\overline{xy}-\overline{x}\overline{y}}{\overline{x^2}-\overline{x}^2} \text{ ir } c=\overline{y}-\lambda \overline{x}= \frac{\overline{x^2}\overline{y}-\overline{x}\; \overline{xy}}{\overline{x^2}-\overline{x}^2},

    čia naudojami žymėjimai

    \displaystyle \overline{x}:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i,\: \overline{y}:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^ny_i, \: \overline{x^2}:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2,\: \overline{xy}:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_iy_i,

  6. Tegu {f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}} yra funkcija su reikšmėmis

    \displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}\right)

    Tegu {x_1,\dots,x_n} yra skaičiai. Apibrėžkime funkciją {L:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}} taip:

    \displaystyle L(a,\sigma^2)=\prod_{i=1}^nf(x_i)

    Įrodyti, kad šios funkcijos ekstremumo taškas yra

    \displaystyle (\widehat{a},\widehat{\sigma^2})=\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i, \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2,\right)

    Parodyti, kad tai funkcija {L} šiame taške įgyja maksimumą. Nuoroda.Pasinaudoti tuo, kad {L} ir {\log L} įygja maksimumą tame pačiame taške.