Tag Archive

You are currently browsing the tag archive for the ‘Uždara aibė’ tag.

MA I, pratybos nr. 23-24

2009/11/23 in Matematinė analizė | Tags: Atvira aibė, sąlyčio taškas, Uždara aibė, vidinis taškas | Parašykite komentarą

Tegul ${a}$ ir ${b}$ yra tokie tiesės taškai, kad ${a<b}$ ir tegul ${x\in (a,b)}$ . Įrodyti, kad egzistuoja tokia ${x}$ aplinka ${O_{\epsilon}(x)}$ , kuri yra ${(a,b)}$ poaibis.
Įrodyti, kad ${\bar{\mathbb{N}}=\mathbb{N}}$ , ${\bar{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}}$ , ${\bar{\mathbb{R}}=\mathbb{R}}$ ir ${\bar{\varnothing}=\varnothing}$ .
Tarkime, kad ${X}$ ir ${Y}$ yra tokios tiesės taškų aibės, kad ${X\subset Y\subset \bar{X}}$ . Įrodyti, kad ${\bar{Y}=\bar{X}}$ .
Tegul ${a,b\in \mathbb{R}}$ . Įrodyti, kad uždaras intervalas ${[a,b]}$ yra uždara aibė.
Tegul ${n\in \mathbb{N}_+}$ ir tegul ${X_1,\dots,X_n}$ yra uždaros tiesės taškų aibės. Įrodyti, kad ${\cup_{i=1}^{n}X_i}$ yra uždara aibė.
Įrodyti, kad aprėžtos aibės uždarinys yra aprėžta aibė.
Įrodyti, kad kiekviena baigtinė tiesės taškų aibė yra uždara ir aprėžta.
Įrodyti, kad intervalai ${(a,b]}$ ir ${[a,b)}$ yra nei uždaros nei atviros aibės.
Tarkime, kad ${X}$ yra netuščia ir aprėžta iš viršaus tiesės taškų aibė ir tegul ${M:=\sup X}$ . Įrodyti, kad ${M}$ yra ${X}$ aibės sąlyčio taškas.

RAS, pratybos nr. 1

2009/09/03 in Rinktiniai analizės skyriai | Tags: aibės siena, Atvira aibė, euklidinė erdvė, Kompaktinė aibė, Uždara aibė | Parašykite komentarą

Tegu ${A}$ yra euklidinės erdvės aibė ir ${x}$ yra jos uždarinio ${\bar{A}}$ elementas. Įrodyti, kad egzistuoja iš aibės ${A}$ elementų sudaryta seka ${(x_n)}$ , kuri konverguoja į ${x}$ .
Tegul ${A}$ yra euklidinės erdvės ${\mathbb{R}^n}$ atviroji aibė ir ${B}$ yra euklidinės erdvės ${\mathbb{R}^m}$ atviroji aibė. Įrodyti, kad jų Descarteso sandauga ${A\times B}$ yra euklidinės erdvės ${\mathbb{R}^{n+m}}$ atviroji aibė.
Kuris iš toliau formuluojamų keturių teiginių yra teisingas ir kuris neteisingas:
1. jei aibė ${F\subset \mathbb{R}^{d+1}}$ yra uždara, tai aibė ${\{x\in \mathbb{R}^d: (0,x)\in F\}}$ yra uždara erdvėje ${\mathbb{R}^d}$ .
2. jei aibė ${G\subset \mathbb{R}^{d+1}}$ yra atvira, tai aibė ${\{x\in \mathbb{R}^d: (0,x)\in G\}}$ yra atvira erdvėje ${\mathbb{R}^d}$ .
3. jei aibė ${F\subset \mathbb{R}^{d}}$ yra uždara, tai aibė ${\{(0,x)\in \mathbb{R}^{d+1}: x\in F\}}$ yra uždara erdvėje ${\mathbb{R}^{d+1}}$ .
4. jei aibė ${G\subset \mathbb{R}^{d}}$ yra atvira, tai aibė ${\{(0,x)x\in \mathbb{R}^{d+1}: x\in G\}}$ yra atvira erdvėje ${\mathbb{R}^{d+1}}$ .
Tegul ${A}$ yra euklidinės erdvės aibė. Aibė ${\partial A=\bar{A}\backslash A^{\circ}}$ vadinama aibės siena. Įrodyti, kad ${x\in \partial A}$ tada ir tik tada, kai su kiekvienu ${\varepsilon>0}$ , ${\varepsilon}$ -aplinkoje ${O_{\varepsilon}(x)}$ yra ir aibės ${A}$ elementų ir aibės ${\mathbb{R}^d\backslash A}$ elementų.
Rasti racionaliųjų skaičių aibės ${\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}}$ sieną ${\partial \mathbb{Q}}$ .
Tegul ${A}$ ir ${B}$ yra euklidinės erdvės kompaktinės aibės. Įrodyti, kad aibės ${A\cap B}$ yra ${A\cup B}$ yra kompaktinės.

Teorijos pratybų patikrinimo I sprendimai

2009/03/13 in Matematinė analizė | Tags: Atvira aibė, Matematinė analizė, Uždara aibė, Vektorių sekos riba | Parašykite komentarą

Tegu ${a,b\in \mathbb{R}^d}$ ir ${a\le b}$ . Ar aibė ${(a,b]=\{x\in \mathbb{R}^d: a_i<x_i\le b_i\}}$ yra atvira ar uždara? Atsakymą pagrįsti.
Sprendimas. Jei ${\exists i: a_i=b_i}$ , aibė ${(a,b]}$ yra tuščia, taigi ir uždara ir atvira. Tarkime $a< b$ . Imkime taškų seką ${x_n=a+(1/n,\dots,1/n)}$ . Visiems ${n>\max(1/(a_i-b_i))+1}$ sekos elementai priklauso aibei ${(a,b]}$ . Seka ${x_n\rightarrow a}$ , taigi ${a}$ yra ribinis aibės ${(a,b]}$ taškas, kuris jai nepriklauso. Taigi aibė nėra uždara. Tegu ${\epsilon>0}$ , tada taškas ${x=(b_1+\epsilon/2,b_2,\dots,b_d)}$ priklauso aplinkai ${O_\epsilon(b)}$ bet nepriklauso ${(a,b]}$ ir taip yra kiekvienam ${\epsilon>0}$ . Taigi taškas ${b}$ nėra vidinis, bet priklauso aibei ${(a,b]}$ , taigi aibė nėra atvira.
Tegu ${A=\{x\in \mathbb{R}^3: 0\le x_1\le 2, x_2^2+x_3^2=1\}}$ . Parodyti, kad seka
$\displaystyle x_n=\left(\frac{2n-1}{n}, \cos\left(\frac{2\pi n-2\pi}{n}\right), \sin\left(\frac{2\pi n-2\pi}{n}\right) \right), n=1,2,\dots$

priklauso aibei ${A}$ ir rasti jos ribą.

Sprendimas. Turime ${0\le x_{n1}\le 2}$ , bei ${x_{n2}^2+x_{n3}^2=\cos^2\alpha_n+\sin^2\alpha_n=1}$ , čia ${\alpha_n=(2\pi n-2\pi)/n}$ . Taigi seka ${(x_n)}$ priklauso aibei ${A}$ . Turime, kad ${(2n-1)/n\rightarrow 2}$ ir ${\alpha_n\rightarrow 2\pi}$ , taigi ${x_n\rightarrow(2,\cos 2\pi,\sin 2\pi)=(2,1,0)}$ .

Pastabos: Čia išspręsti pirmos grupės uždaviniai, antros grupės uždaviniai sprendžiasi analogiškai.

	vzemlys apie Rožiniai akiniai
	Audrius apie Rožiniai akiniai
	Karl apie Time series data aggregation u…
	Vytautas Astrauskas apie Matematinio teksto rinkimo tur…
	Auksinis kardas apie Drawing national flags on maps…

Pr	A	T	K	Pn	Š	S
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

Tag Archive

MA I, pratybos nr. 23-24

RAS, pratybos nr. 1

Teorijos pratybų patikrinimo I sprendimai

Categories

Alma Mater

Matematikų blogai

Naudingi

Įvykiai

Naujausi komentarai